dp小结|背包问题

1.先放上0-1背包模板

二维数组

for(int i=1;i<=n;i++)//枚举 物品 
    for(int j=1;j<=V;j++)//枚举体积 
    //这个位置是可以正序枚举的.  qwq
    //一维01背包必须倒叙  emmm
    //这个没错a emmm  
        if(j>=c[i]）
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-c[i]]+w[i]);//状态转移方程.
        else f[i][j]=f[i-1][j].

滚动二维数组

    int dp[2][10010];
    int row = 0; //滚动 
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        row = 1 - row;
        for (int j = 1; j <= i * (i + 1) / 2; ++j) {//这里可以减少枚举
        if(j>=c[i]）
            f[row][j]=max(f[1-row][j],f[1-row][j-c[i]]+w[i]);//状态转移方程.
        else f[row][j]=f[1-row][j].
        }
    }

一维数组(逆序)

for(int i=1;i<=n;i++)//枚举 物品 
    for(int j=V;j>=c[i];j--)//枚举体积 
        f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);//状态转移方程. 

模板题：洛谷：P1048采药
“采药”这道题套模板就行了，从二维到一维优化。

2.顺便再复习记忆化搜索洛谷：P1048采药记忆化搜索做法题解

先想到dfs搜索暴力解题，就是多参数递归，出口记录搜索到的值
再想到记忆化搜索，什么时记忆化搜索？记录每一次dfs答案，免去重复计算，从而起到优化时间复杂度的作用
记忆化搜索记录什么值呢？记录每次搜索结束找到的价值(不一定最大)

如何想到可以用记忆化搜索？

3.蓝桥杯考过的记忆化搜索——2013年C++B组第9题地宫取宝

使用四维数组缓存记录。

4.蓝桥杯考过的0-1背包：2014年C++A组第十题-波动数列

这道题比较难想到0-1背包，选数字对应成拿物品填充背包，dp[i][j]表示用前i个数凑出数字j的方案数，类似题目：我记得有一道选几个数字，凑出数字n。初始化dp[0][0] = 1，第0列都等于1，dp[i~n][0] = 1

5.完全背包

与0-1背包略有不同的是，每种物品有无限多个,可重复选取。

二维数组，三层循环模板

for(int i=1;i<=n;i++)//枚举物品
    for(int j=1;j<=V;j++)
        for(int k=1;k<=V/c[i];k++)//我们的物品最多只能放多少件.  
            {
                if(k*c[i]<=j)
                    f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i]);
                else 
                    f[i][j]=f[i-1][j];
                 //判断条件与01背包相同.
            }

一维数组，两层循环模板（顺序枚举，和0-1背包一维恰好相反）

for(int i=1;i<=n;i++)//枚举物品
    for(int j=c[i];j<=V;j++)//枚举体积.注意这里是顺序/
        f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);//状态转移.

完全背包模板题：P1616 疯狂的采药

6.蓝桥杯考过的完全背包：2017年蓝桥杯-包子凑数

1~100000(比较大的值)
初始化dp[0] = 1
完全背包思想，推出布尔类型的dp数组，最后遍历最后dp数组最后一层为true的个数

整数划分（每个数可以用无限次）——完全背包

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 100005;
int n;
int dp[maxn];

int main(){
	cin>>n;
	dp[0] = 1;
	for(int i=1;i<=n;i++){//可以用到n 
		for(int j=i;j<=n;j++){//完全背包 每个数字可以用无限次 
			dp[j] = dp[j] + dp[j-i];
		}
	}
	cout<<dp[n]<<endl;
	return 0;
} 

整数划分（每个数只能用一次）——0-1背包

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 100005;
int n;
int dp[maxn];

int main(){
	cin>>n;
	dp[0] = 1;
	for(int i=1;i<=n-1;i++){//不能用n 
		for(int j=n;j>=i;j--){//0-1背包 倒序 
			dp[j] = dp[j] + dp[j-i];
		}
	}
	cout<<dp[n]<<endl;
	return 0;
} 
//输入6
//输出3  说明:1、5;2、4;1、2、3 

7.多重背包，没做过题不好讲复习。。

多重背包问题限定了一种物品的个数，一个简单的方法，转成0-1背包。先这样写吧

#include <iostream>
using namespace std;
#define V 1000
int weight[50 + 1];
int value[50 + 1];
int num[20 + 1];
int f[V + 1];
int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}
int main() {
    int n, m;
    cout << "请输入物品个数:";
    cin >> n;
    cout << "请分别输入" << n << "个物品的重量、价值和数量:" << endl; 
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> weight[i] >> value[i] >> num[i];
    }
    int k = n + 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        while (num[i] != 1) {
            weight[k] = weight[i];
            value[k] = value[i];
            k++;
            num[i]--;
        }
    }
    cout << "请输入背包容量:";
    cin >> m;
    for (int i = 1; i <= k; i++) {
        for (int j = m; j >= 1; j--) {
            if (weight[i] <= j) f[j] = max(f[j], f[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << "背包能放的最大价值为:" << f[m] << endl;
}

学长的dp：https://blog.csdn.net/o_ohello/article/details/89378697