动态规划|删除最少的元素-最长下降子序列

删除最少的元素

给定有 nn 个数的 AA 序列：A_1,A_2,A_3\cdots A_nA​1​​,A​2​​,A​3​​⋯A​n​​。对于这个序列，我们想得到一个子序列 A_{p_1}, A_{p_2} \cdots A_{p_i} \cdots A_{p_m}(1 \le p_1 < p_2<\cdots p_i < \cdots < p_m \le n)A​p​1​​​​,A​p​2​​​​⋯A​p​i​​​​⋯A​p​m​​​​(1≤p​1​​<p​2​​<⋯p​i​​<⋯<p​m​​≤n)，满足 A_{p_1} \ge A_{p_2} \ge \cdots \ge A_{p_i} \le \cdots \le A_{p_m}A​p​1​​​​≥A​p​2​​​​≥⋯≥A​p​i​​​​≤⋯≤A​p​m​​​​。从 AA 序列最少删除多少元素，可以得到我们想要的子序列。

输入格式
第一行输入一个整数 nn，代表 AA 序列中数字的个数。第二个输入 nn 个整数，代表A_1,A_2,A_3...A_nA​1​​,A​2​​,A​3​​...A​n​​。

(1 \leq n \leq 10001≤n≤1000，1 \leq A_i \leq 100001≤A​i​​≤10000)

输出格式
输出需要删除的元素个数，占一行。

样例输入
7
3 2 4 1 2 5 3
样例输出
2

思路：分别正序dp一次，倒序dp一次。dp正序[i]+dp逆序[i]-1的最小值即所求结果。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int MAX_N = 1010; 
int n;
int a[MAX_N];
int dp1[MAX_N];
int dp2[MAX_N];

int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		dp1[i] = 1;
		for(int j=1;j<i;j++){
			if(a[j] >= a[i]){
				dp1[i] = max(dp1[i],dp1[j]+1);
			}
		}
	}
	
	for(int i=n;i>=1;i--){
		dp2[i] = 1;
		for(int j=n;j>i;j--){
			if(a[j] >= a[i]){
				dp2[i] = max(dp2[i],dp2[j]+1);
			}
		}
	}
	
	int ans = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans = max(ans,dp1[i] + dp2[i] -1);
	}
	cout<<n-ans<<endl;
	return 0;
}