数论——逆元

总：逆元

一、数论倒数，又称逆元

注意是数论倒数，不是数学的倒数。

你以为a的倒数在数论中还是1/a吗？哼哼~天真
看一下上次说的

二、余数性质

(a + b) % p = (a%p + b%p) %p （对）
(a - b) % p = (a%p - b%p) %p （对）
(a * b) % p = (a%p * b%p) %p （对）
(a / b) % p = (a%p / b%p) %p （错）

对于一些题目，我们必须在中间过程中进行求余，否则数字太大，电脑存不下，那如果这个算式中出现除法，我们是不是对这个算式就无法计算了呢？

答案当然是 NO (>o<)
这时就需要逆元了
我们知道
如果
ax = 1
那么x是a的倒数，x = 1/a
但是a如果不是1，那么x就是小数
那数论中，大部分情况都有求余，所以现在问题变了
ax = 1 (mod p) （这是个啥？：传送门）
那么x一定等于1/a吗
不一定
所以这时候，我们就把x看成a的倒数，只不过加了一个求余条件，所以x叫做 a关于p的逆元
比如2 * 3 % 5 = 1，那么3就是2关于5的逆元，或者说2和3关于5互为逆元
这里3的效果是不是跟1/2的效果一样，所以才叫数论倒数
a的逆元，我们用inv(a)来表示

那么(a / b) % p = (a * inv(b) ) % p = (a % p * inv(b) % p) % p

这样就把除法，完全转换为乘法了 ，用性质即可
那么，，，

三、如何求逆元?

(忘了说，a和p互质，a才有关于p的逆元)

3.1求逆元方法一：费马小定理

因为
a^(p-1) ≡1 (mod p)
两边同除以a
a^(p-2) ≡1/a (mod p)
什么(,,• ₃ •,,)，这可是数论，还敢写1/a
应该写a^(p-2) ≡ inv(a) (mod p)
所以

inv(a) = a^(p-2) (mod p)

这个用快速幂求一下，复杂度O(logn)(ง •̀_•́)ง

long long pow_mod(long long a, long long b, long long p){//a的b次方求余p 
    long long ret = 1;
    while(b){
        if(b & 1) ret = (ret * a) % p;
        a = (a * a) % p;
        b >>= 1;
    }
   return ret;
}
long long Fermat(long long a, long long p){
        return pow_mod(a, p-2, p)%p;
}

3.2求逆元方法二：扩展欧几里德算法

还记得扩展欧几里德吗？（不记得的话，欧几里得会伤心的(╭￣3￣)╭♡）
ax + by = 1
如果ab互质，有解
这个解的x就是a关于b的逆元
y就是b关于a的逆元
为什么呢？
你看，两边同时求余b
ax % b + by % b = 1 % b
ax % b = 1 % b
ax = 1 (mod b)
你看你看，出现了！！！(/≥▽≤/)
所以x是a关于b的逆元
反之可证明y

代码：

#include<cstdio>
typedef long long LL;
void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){
    if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;}
    else{
        ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
        y -= x * (a / b);
    }
}
LL inv(LL t, LL p){//如果不存在，返回-1 
    LL d, x, y;
    ex_gcd(t, p, x, y, d);
    return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1;
}
int main(){
    LL a, p;
    while(~scanf("%lld%lld", &a, &p)){
        printf("%lld\n", inv(a, p));
    }
}

3.3求元方法三：线性预处理逆元

求一个区间上的逆元：

当p是个质数的时候有

inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p

代码：

// p 必须为质数，p / i 为整除。
inv[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;
}

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