位位运算 方法记录

题解

位运算简单理解：

and(&):有假则假；
or(|)：有真则真；

不妨从输入样例入手，看看能有什么发现。

举几个例子：

1(001) & 2(010) == 3(011)
1(001) | 2(010) == 0(000)

2(010) & 3(011) == 3(011)
2(010) | 3(011) == 2(010)

3(011) & 4(100) == 7(111)
3(011) | 4(100) == 0(000)

4(100) & 5(101) == 5(101)
4(100) | 5(101) == 4(100)

先观察每组等式两边十进制数和的情况，我们得出第一个结论：

a + b == a & b + a | b

再观察每组等式两边二进制数每一位的情况，我们得出第二个结论：

a、b二进制中每一位上0、1的个数==a & b、a | b二进制中每一位上0、1的个数

解释一下，以下面这两个数为例。

3(011) & 4(100) == 7(111)
3(011) | 4(100) == 0(000)

3(011) 4(100) vs 7(111) 0(000)

然后设计程序就很轻松了。

首先，用类似桶的思想将每一位上\(1\)的个数存下来。

然后，为了使最终生成的数尽可能大，我们从最高位开始遍历。遇到一位存在\(1\)的，我们便由那一位接着向低位遍历，若该位存在\(1\)则为当前生成数增加\(1<<(j-1)\)（\(j\)是遍历到的位），并消耗一个当前位上\(1\)的数量。由此我们可以生成一个数。

最后，求所有生成数的平方和即可。

AC代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=100005;
int n;
int wei[200];
ll num[1000000];//num存了所有生成的数，必须开得足够大 
ll ans;
int main()
{
	//freopen("wei.in","r",stdin);
	//freopen("wei.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1,x,y,cnt;i<=n;i++)
	{
		cnt=0;
		scanf("%d",&x);
		y=x;
		while(y!=0)
		{
			wei[++cnt]+=y%2;//wei[i]存第i位上1的个数和
			y>>=1;
		}
	}
	int cnt=0;
	for(int i=20;i>=1;i--)
		while(wei[i]!=0)
		{
			cnt++;
			for(int j=i;j>=1;j--)
				if(wei[j]!=0)
				{
					num[cnt]+=1<<(j-1);//为生成数作贡献
					wei[j]--;//消耗当前位上的1
				}
		}
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
		ans+=1ll*num[i]*num[i];
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}