小朋友的数字 方法记录

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[NOIP2013 普及组] 小朋友的数字

题目描述

有 $n$ 个小朋友排成一列。每个小朋友手上都有一个数字，这个数字可正可负。规定每个小朋友的特征值等于排在他前面（包括他本人）的小朋友中连续若干个（最少有一个）小朋友手上的数字之和的最大值。

作为这些小朋友的老师，你需要给每个小朋友一个分数，分数是这样规定的：第一个小朋友的分数是他的特征值，其它小朋友的分数为排在他前面的所有小朋友中（不包括他本人），小朋友分数加上其特征值的最大值。

请计算所有小朋友分数的最大值，输出时保持最大值的符号，将其绝对值对 $p$ 取模后输出。

输入格式

第一行包含两个正整数 $n,p$，之间用一个空格隔开。

第二行包含 $n$ 个数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示每个小朋友手上的数字。

输出格式

一个整数，表示最大分数对 $p$ 取模的结果。

样例 #1

样例输入 #1

5 997
1 2 3 4 5

样例输出 #1

21

样例 #2

样例输入 #2

5 7
-1 -1 -1 -1 -1

样例输出 #2

-1

提示

【样例解释 #1】

小朋友的特征值分别为 $1,3,6,10,15$，分数分别为 $1,2,5,11,21$，最大值 $21$ 对 $997$ 的模是 $21$。

【样例解释 #2】

小朋友的特征值分别为 $-1,-1,-1,-1,-1$，分数分别为$-1,-2,-2,-2,-2$，最大值 $-1$ 对 $7$ 的模为 $-1$，输出 $-1$。

【数据范围】

对于 $50\mathrm{\%}$ 的数据，$1\le n\le 1000$，$1\le p\le 1000$，所有数字的绝对值不超过 $1000$；

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，$1\le n\le {10}^6$，$1\le p\le {10}^9$，其他数字的绝对值均不超过 ${10}^9$。

题解

我们首先来分析小朋友的三个指标：手里的数，特征值，分数。

手里的数：即我们输入的长度为$n$的序列；

特征值：从第一个小朋友到当前小朋友的 手上的数 的 最大子段和；

分数：当前小朋友前面的小朋友中 小朋友特征值和分数的和 的最大值（第一个小朋友的分数等于其特征值）。

这个问题可以拆分成两个子问题。

一、求每个小朋友对应的最大子段和

最大子段和模板题

最大子段和的核心思想

1.第一个数是一个有效子段。

2.如果 一个数加上上一个有效子段 的结果 大于 这个数，那么 这个数属于上一个有效子段。

3.如果 一个数加上上一个有效子段 的结果 小于 这个数，那么 这个数成为一个新的有效子段。

	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",&hand);//hand是输入的手里的数 
		if(i==1) tmp[i]=hand;//tmp[]记录子段 
		else tmp[i]=maxx(hand,tmp[i-1]+hand);//取hand是第3种情况，取tmp[i-1]+hand是第2种情况 
		sub=maxx(sub,tmp[i]);//sub是第i个小朋友对应的最大子段和（特征值） 
		stu[i].spl=sub;
	}

注意

sub=maxx(sub,tmp[i]);
stu[i].spl=sub;

不能写成

stu[i].spl=maxx(stu[i].spl,tmp[i]);

因为$sub$后续还会用到，所以需要持久地保存下来。

二、线性统计所有小朋友分数的最大值

第一个小朋友的分数就是其特征值。

第二个小朋友前面只有一个小朋友，所以第二个小朋友的分数就是第一个小朋友分数和特征值之和。

……

记录当前小朋友的分数为$x$，那么下一个小朋友的分数就是 $x$、下一个小朋友与$x$的和 的最大值。、

stu[1].sco=stu[1].spl;
	x=stu[1].sco+stu[1].spl;
	ans=stu[1].sco;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		stu[i].sco=x;
		x=maxx(x,stu[i].spl+stu[i].sco);
		ans=maxx(ans,stu[i].sco);
	}

考虑到数据范围导致运算时会出现超过$longlong$的值，所以可以使用__128来声明参与运算的变量，注意输入输出不能用__128。

AC代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const __int128 N=1000005;
const __int128 inf=2147483647;
ll n,p,hand;
__int128 x,ans;
struct student
{
	__int128 spl,sco;
}stu[N];
__int128 tmp[N];
__int128 maxx(__int128 a,__int128 b)
{
	return a>b?a:b;
}
__int128 sub=-inf;
ll final;
signed main()
{
	//freopen("number.in","r",stdin);
	//freopen("number.out","w",stdout);
	scanf("%lld%lld",&n,&p);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",&hand);//hand是输入的手里的数 
		if(i==1) tmp[i]=hand;//tmp[]记录子段 
		else tmp[i]=maxx(hand,tmp[i-1]+hand);//取hand是第3种情况，取tmp[i-1]+hand是第2种情况 
		sub=maxx(sub,tmp[i]);//sub是第i个小朋友对应的最大子段和（特征值） 
		stu[i].spl=sub;
	}
	stu[1].sco=stu[1].spl;
	x=stu[1].sco+stu[1].spl;
	ans=stu[1].sco;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		stu[i].sco=x;
		x=maxx(x,stu[i].spl+stu[i].sco);
		ans=maxx(ans,stu[i].sco);
	}
	if(ans>=0)
	{
		ans=ans%p;
		final=ans;
		printf("%lld",final);
	}
	else
	{
		ans=-ans;
		ans=ans%p;
		final=ans;
		printf("-%lld",final);
	}
	return 0;
}