2023 年 1月随笔档案 - realFish

摘要：题意传送门对于一个元素个数大于

1

$1$ 的可重集，每次取出两个数

x, y

$x,y$ 合并。若

x \leq y \leq 2 x

$x\le y\le 2x$ ，则称其为危险合并。重复上述操作至无法合并。给你一个初始为空的可重集与

n

$n$ 次操作，每次加入或删除一个数，求每次操作后最大的危险合并次数。 $1\le n \le5\time

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CF1067E 题解

摘要：题意传送门给定一棵

n

$n$ 个节点的树，每条边有

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 的概率出现，可以得到一个森林，求这个森林邻接矩阵的秩的期望。

1 \leq n \leq 5 \times 10^{5}

$1\le n\le5\times10^5$ 。题解此题关键在于一个重要结论：一个森林邻接矩阵的秩等于其最大匹配数

\times 2

$\times2$ 。下面对其进行证明。

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CF1033E 题解

摘要：题意传送门交互题，给定一个简单连通图，你可以询问一个点集

s

$s$ ，返回其导出子图的边数。判断此图是否为二分图：若是，输出其中一部点的集合；否则输出任一个奇环。最多询问

20000

$20000$ 次。

1 \leq n \leq 600

$1 \le n \le 600$ 。题解对原图建立生成树，判断深度奇偶性相同的点是否有连边。但建树的

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CF908G 题解

摘要：题意传送门给

x \leq 10^{700}

$x\le10^{700}$ ，问

1

$1$ 到

x

$x$ 中每个数在各数位排序后得到的数的和。答案模

10^{9} + 7

$10^9+7$ 。题解学到一种新鲜的转化方式，来记一下。将

x

$x$ 的位数记为

n

$n$ 。一个显然的想法是算贡献，即枚举

d \in [0, 9], i \in [1, n]

$d\in[0,9],i\in[1,n]$ ，算

d

$d$ 在

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CF850F 题解

摘要：题意传送门有一袋

n

$n$ 个颜色球，第

i

$i$ 个颜色的球有

a_{i}

$a_i$ 个。当袋子里至少有两个不同颜色的球时，执行以下步骤: 一个接一个的按照顺序随机取出两个的球，这些球的颜色可能是一样的。把第二个球涂成第一个球的颜色，然后把两个球放回袋子里。所有这些动作只需要一秒钟。输出无法操作时候

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SOJ1711 题解

摘要：题意给定

n

$n$ 个在数轴的区间

[l_{1}, r_{1}], [l_{2}, r_{2}], . . ., [l_{n}, r_{n}]

$[l_1,r_1],[l_2,r_2],...,[l_n,r_n]$ 。定义

I (x)

$I(x)$ 为所有包含

[x, x + 1]

$[x,x+1]$ 的区间形成的集合，即

I (x) = k ∣ [x, x + 1] \subseteq [l_{k}, r_{k}]

$I(x)={k \mid [x,x+1] \subseteq [l_k,r_k] }$ 。称一个数列

S

$S$ 是好

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CF652F 题解

摘要：题意传送门在一个长度为

m

$m$ 的圆环上有

n

$n$ 只初始位置互不相同的蚂蚁，每只蚂蚁的速度都为

1

$1$ ，初始方向为顺时针或逆时针；两只运动方向不同的蚂蚁相遇时会调转方向，问

t

$t$ 时间后每只蚂蚁的位置。 $2 \le n \le 3 \times 10^5,2 \le m \le 10^9,

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CF513F2 题解

摘要：题意传送门有

a + b + 1

$a+b+1$ 个会动的棋子，在一个大小为

n \times m

$n\times m$ 的棋盘上，棋盘上有一些点有障碍。棋子中，有

a

$a$ 个红色棋子，

b

$b$ 个蓝色棋子，和

1

$1$ 个既能当作红棋子又能当作蓝棋子的通配棋子。一个局面是好的，当且仅当对于每个格子，要么这个格子上没有棋子，要么这个格子

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CF446D 题解

摘要：题意传送门给定一张

n

$n$ 个点

m

$m$ 条边的无向图，每个节点有权值

v_{i} =

$v_i=$

0 / 1

$0/1$ 。角色从节点

1

$1$ 开始随机游走，走到

n

$n$ 停止。求其经过路径上权值和等于

k - 1

$k-1$ 的概率。经过多次算多次。保证

v_{1} = 0, v_{n} = 1

$v_1=0,v_n=1$ 。 $1 \le n \le 500,1 \le

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CF319D 题解

摘要：题意传送门给你一个字符串

S

$S$ ，要求你每次找到一个最短的并且最左边的形如

X X

$XX$ （即由两个相同的字符串拼接而成）的子串，然后把这个字符串从

X X

$XX$ 变成

X

$X$ 。问无法操作后的字符串是什么？

| S | \leq 5 \times 10^{4}

$|S|\le5\times 10^4$ 。题解首先有一个重要的结论是：设每次删去的串

X X

$XX$

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