CF1599J 题解

题意

给定一个长度为 $n$ 的数组 $b$，判断是否存在一个长度为 $n$ 的数组 $a$，使得 $b$ 中每一个元素都可以由 $a$ 中两个位置不同的元素相加得到。若存在，输出任意一个 $a$。

$2\le n\le 10^3,1\le b_i\le 10^6$。

题解

简单分析，如果 $b$ 中有两个元素相同则肯定可以，如果存在三个数 $x,y,z$ 满足 $x+y-z$ 是偶数则肯定可以。于是接下来只考虑所有数都是奇数的情况。

每个 $a_i$ 对应一个点，$b_i$ 对应一条边，则构成一个基环树。对于不在环上的部分，如果不是一条链，则将一个叶子接到另一个叶子下面，显然答案依然存在。于是形态变成了一个环接一条链。也就是一条链加一条连接一个端点的边。

设 $a_1=x$，则 $a_2=b_1-x,a_3=b_2-b_1+x,a_4=b_3-b_2+b_1-x,\dots$。注意此时 $b$ 并非输入的顺序。此时仅 $b_n$ 未满足。根据上述的分析，$b_n$ 由 $a_1$ 与一个 $a_i$ 相加得到。由于所有 $b$ 都是奇数，显然 $i$ 需要为偶数。则问题转化为在 $b$ 中找到两个长度相等，和相等的子序列。

由鸽巢原理，$\binom{n}{n/2}>10^6\times\frac{n}{2}$ 时一定存在。所以 $n>27$ 时在前 $27$ 个中找即可。设 $m=\min(n,27)$，复杂度 $O(m2^m)$。