4.29校赛记录

地理微米

题意

给一块 $n\times m$ 的木板，不重叠地摆放若干 L 型卡片（占 $3$ 个格子），在中心钉一个钉子。现在给你木板上钉子的位置，求有多少种放置卡片的方式。答案对 $998244353$ 取模。

$n\times m\le3\times10^6$。

题解

先从判断可行性开始。对每个 $1$，其左右需放一个 $1$，其上下需放一个 $1$，且不能重叠。不难想到一种简单的网络流做法，但复杂度不允许。

优化一下模型。左右之间连一条无向边，上下之间同理。若左右有一个也为 $1$，则另一个连自环；若都为 $1$，显然不行。此时转化为给无向边定向，使得每个 $0$ 点入度不超过 $1$。则可行当且仅当每个连通块的边数不大于点数。

接着考虑计数。若连通块为树，有一个点入度为 $0$，其他均为 $1$。则以入度为 $0$ 的点为根，每条边指向儿子。共有点数种方式。若连通块为基环树，则环上两种方向为两种方式。但若环为自环，只有一种方式。于是此题得解。

激光塔

题意

给定二维平面上 $N$ 个激光塔的坐标与朝向（上下左右）。并有贡献，计算方式如下：开始时每个塔贡献 $P$。若两个塔 $i,j$ 距离不超过 $R$ 且 $X_i\neq X_j,Y_i\neq Y_j$，则若朝向相同，贡献 $G$；相反，贡献 $-G$；否则不贡献。

你可以贡献 $-P$，将一座激光塔任意方向旋转 $90^{\circ}$。一座塔可以旋转任意次。旋转后不同塔之间的贡献也会相应改变。求操作后的最大贡献。

$1\le N\le 50,1\le R,P,G\le 1000,-1000\le X_i,Y_i\le 1000$。

题解

距离没有什么特殊性质。直接改为塔之间连边。

连边的塔之间的贡献计算方式特殊，从这里入手。发现是长度为 $\sqrt G$ 向量的点积。点积的计算方式 $x_ix_j+y_iy_j$ 启发我们将 $x,y$ 隔离考虑。但旋转操作又不方便隔离。

将坐标系旋转 $45^{\circ}$。则 $x_i,y_i\in\{\pm\sqrt{\frac{G}{2}}\}$。于是旋转操作变成了将 $x_i$ 或 $y_i$ 取反。于是可以隔离。以下考虑 $x$。

对于连边的两座塔，若 $x$ 同号，贡献 $\frac{G}{2}$；若异号，贡献 $-\frac{G}{2}$。不妨看作全部贡献 $\frac{G}{2}$，若异号，增加 $G$ 的消耗。将某个 $x$ 取反，增加 $P$ 的消耗。目标是最小化消耗。

这是一个网络流模型。源点向 $x$ 为正的所有点连容量为 $P$ 的边，$x$ 为负的所有点向汇点连容量为 $P$ 的边。原图中有边的两点，网络中连容量为 $G$ 的双向边。最小割即为最小消耗。读者自证不难。于是此题得解。

反思

看完题解后，感觉这两题都不算难。尤其是第一题，初二的小朋友都会。但为什么考试时就是做不出来呢？

感觉最大的原因是思维不活跃。这也是老毛病了，必须尽快解决。最近都在学一些套路性强的东西，接下来一段时间的重心应该转移到思维题上。板刷 CF，限时训练。