LG4707 题解

题意

传送门

有 $n$ 种材料，每单位时间随机出现一种，第 $i$ 种出现的概率为 $\frac{p_i}{m}$。问收集到任意 $k$ 种材料的期望时间，对 $998244353$ 取模。

$1\le n\le 10^3,|n-k|\le10,\sum p=m,1\le m\le10^4$。

题解

学了个新知识：拓展 Min-Max 容斥。如下：

$$\max_k(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}\min(T)$$

其中 $\max\limits_k(S)$ 表示 $S$ 中第 $k$ 大的值。这个式子与 Min-Max 容斥的区别在于容斥系数。我们来证明一下。

因为系数只与 $|T|$ 有关，所以设 $f_i$ 为 $|T|=i$ 时的系数。对于 $S$ 中第 $i$ 大的值，会被算 $\sum\limits_{j=1}^{i-1}\binom{i-1}{j}f_{j+1}$ 次。则 $\sum\limits_{j=1}^{i-1}\binom{i-1}{j}f_{j+1}=[i=k]$。二项式反演后所有 $f_i$ 都仅剩一项，即得 $f_i=(-1)^{i-k}\binom{i-1}{k-1}$。于是得证。

然后就是一个简单的 $\text{DP}$。不多说。