CF1383E 题解

题意

传送门

给定一个长度为 $n$ 的 01 串 $a$。在一次操作中，你可以选择任意一个 $i\in[1,|a|)$，令 $a_i=\max(a_i,a_{i+1})$，然后将 $a_{i+1}$ 删除。你可以进行不超过 $n-1$ 次操作，问一共能得到多少种 01 串，答案对 $10^9+7$ 取模。

$1\le n\le 10^6$。

题解

若对操作的序列计数，此题难以处理。我们通过一些转换，对可以得到的串计数。

利用 $1$ 将串划分，记录每段 $0$ 的数量。如 $001010011$ 就是 $\{2,1,2,0,0\}$。那么可行的操作就是将一个大于 $0$ 的数减 $1$，或删除一个不在头尾的 $0$。于是一个串与一个序列一一对应。下面我们对序列计数。

头尾不删，则可以扔掉，最后乘上系数 $(a_{1}+1)(a_n+1)$。此时可知一个长为 $m$ 的序列 $b$ 可行的充要条件：存在 $i_1<i_2<\dots<i_m$ 满足 $\forall j\in[1,m],b_j\le a_{i_j}$。用类似子序列自动机的方式判断。每次向后找到第一个大于等于 $b_j$ 的位置并移动指针。

然后可以 $\text{dp}$。设 $f_i$ 表示指针在 $i$，每次枚举下一个放的数。则有 $f_i=\sum\limits_{j<i}f_j+\max(0,a_i-\max\limits_{k=j+1}^{i-1}a_k)$。单调栈可做到 $O(n)$。