SOJ1728 题解

题意

有一个长度为 $n$ 的数列 $a_0,a_1,\dots,a_{n-1}$ 以及一个长度为 $m$ 的操作序列 $(b_0,c_0),(b_1,c_1)\dots(b_{m-1},c_{m-1})$。

执行 $t$ 次操作，第 $i$ 次操作（从 $1$ 开始编号）执行

$$\text{swap}(a_{(b_{i\bmod m}+i)\bmod n},a_{(b_{i\bmod m}+i)\bmod n})$$

求最终数列。

$1\le n,m\le 10^5,t\le 10^{10}$。

题解

考试题，赛时想了一个巨毒瘤的奇环树+倍增解法，结果 $200+$ 行代码怒调 $4\texttt{h}$，还 R 了一个点。只能 $90\texttt{pts}$ 遗憾离场……正解用到了一个挺妙的 trick，但出题人认为很典（www被嘲讽了

先考虑 $n\mid m$ 的情形。若我们将操作每 $m$ 个分为一组，除最后一组外的所有组都是相同的。暴力一遍，可以得到一个置换，因为置换有结合律，用快速幂可以 $O(n\log t)$ 解决。其实也可以优化到 $O(n\log n)$，但没必要。

$n\nmid m$ 时，第 $i$ 组的每个数在 $\bmod n$ 意义下比第 $i-1$ 组大 $m$。我们这样考虑：做完第 $1$ 组后，将数列向左循环移 $m$ 位，做完剩下的所有组后再移回来。由于操作是 $\texttt{swap}$，结果不变。那么除最后一组外的所有组又相同了。如上操作，最后循环右移 $\lfloor\frac{t}{m}\rfloor\times m$ 即可。