CF1033E 题解

题意

传送门

交互题，给定一个简单连通图，你可以询问一个点集 $s$，返回其导出子图的边数。判断此图是否为二分图：若是，输出其中一部点的集合；否则输出任一个奇环。最多询问 $20000$ 次。

$1 \le n \le 600$。

题解

对原图建立生成树，判断深度奇偶性相同的点是否有连边。

但建树的复杂度已经是 $O(n^2)$，且难以优化。注意到条件仅对深度有要求，那么尝试忽略树的形态，仅找出所有点的深度。

可以得出这样一个算法：先找到深度为 $0$ 的点集（即 $\{1\}$），然后找出所有与其有连边的点，即为深度为 $2$ 的点集。依次类推。

考虑一下 “找出 $S$ 中与 $T$ 有连边的所有点“ 的复杂度。显然有一个 $O(|S|)$ 的做法，但不够。我们需要其与答案个数有关，便于均摊。那么考虑分治。判断 $S$ 与 $T$ 是否有连边，可以通过 $ask(S\cup T)-ask(S)-ask(T)$。

那么就通过 $O(n\log n)$ 得出了所有点的深度。于是可以判断二分图。还有一个问题是，若不是二分图，怎么找到奇环？

不妨设 $S$ 为所有偶深度点的集合，且 $ask(S)>0$。那么通过枚举所有 $x\in S$，可以找出一个与 $S\setminus\{x\}$ 有连边的点。再枚举一遍，就找到一条边 $(x,y)$。那么再找到它们到根的路径上的所有点即可，也就是找父亲。这显然可以通过二分。于是此题得解。