CF908G 题解

题意

传送门

给 $x\le10^{700}$，问 $1$ 到 $x$ 中每个数在各数位排序后得到的数的和。答案模 $10^9+7$。

题解

学到一种新鲜的转化方式，来记一下。

将 $x$ 的位数记为 $n$。一个显然的想法是算贡献，即枚举 $d\in[0,9],i\in[1,n]$，算 $d$ 在 $i$ 位上出现的次数。但尝试了一会，发现难以处理。

此时我们将数字 $i\in[0,9]$ 拆为 $\underbrace{\overline{11\dots1}}_i$ 的形式，并竖着写下来。那么任意一个数可以表示为不超过 $9$ 个 $11\dots1$ 的和的形式。例如 $3459$ 就是：

$$\begin{aligned} 1111\\ +1111\\ +1111\\ +111\\ +11\\ +1\\ +1\\ +1\\ +1\\ \end{aligned}$$

然后再算贡献。枚举 $d\in[1,9],i\in[1,n]$，那么答案加上：大于等于 $d$ 的数字出现了恰好 $i$ 次的数的个数 $\times \underbrace{11\dots1}_i$。前面部分是个简单的数位 $\text{DP}$。于是此题得解。