CF850F 题解

题意

传送门

有一袋 $n$ 个颜色球，第 $i$ 个颜色的球有 $a_i$ 个。

当袋子里至少有两个不同颜色的球时，执行以下步骤:

1. 一个接一个的按照顺序随机取出两个的球，这些球的颜色可能是一样的。

2. 把第二个球涂成第一个球的颜色，然后把两个球放回袋子里。

所有这些动作只需要一秒钟。
输出无法操作时候的期望时间，对 $10^9+7$ 取模。

$n\le 2500,1\le a_i \le 10^5$

题解

分别考虑每种颜色。那么设 $f_i$ 表示当前颜色的球有 $i$ 个，到没有其他颜色的球时的期望秒数。

设 $s=\sum\limits_{i=1}^n a_i$，则 $f_0=+\infty$，$f_s=0$，$\forall i \in (0,s),f_i=(f_{i-1}+f_{i+1})p_i+f_i(1-2p_i)+1$。其中 $p_i$ 为 $\frac{i(s-i)}{s(s-1)}$。

但因为有无穷，这是无法求的。我们需要避开 $0$。因为一旦进入 $0$ 就出不来，所以所有从 $i$ 到 $s$ 的合法路径都是不经过 $0$ 的。那么我们设 $g_i$ 表示从 $i$ 到 $s$ 不经过 $0$ 的概率，易得为 $\frac{i}{s}$。结合其实际意义，我们可以修改上式：$f_0=f_s=0$，$\forall i\in(0,s),f_i=(f_{i-1}+f_{i+1})p_i+f_i(1-2p_i)+\frac{i}{s}$。注意，此时 $f_0$ 没有实际意义，赋 $0$ 仅为了运算方便。

此时若用高斯消元，复杂度为 $O(n^3V^3)$，无法接受。将其化为更简单的形式：$f_{i+1}-f_i=f_i-f_{i-1}-\frac{s-1}{s-i}$。因为 $f_0=0$，我们只需求出 $f_1$ 即可。再结合 $f_s=0$，有 $f_1+\sum\limits_{i=1}^{s-1}f_{i+1}-f_i=sf_1-\sum\limits_{i=1}^{s-1}\frac{s-1}{s-i}s-i=sf_1-(s-1)^2=0$。则 $f_1=\frac{(s-1)^2}{s}$。递推即可。复杂度 $O(V\log P)$，瓶颈在求逆元。

此题关键在由 $g$ 得出 $f$ 的方程。非常巧妙地结合其实际意义。