CF1344D 题解

题意

传送门

给定一个长度为 $n$ 的数组 $a_i$，构造自然数数组 $b_i$ 满足：

• $\forall i,b_i \in [0,a_i]$
• $\sum_{i=1}^n b_i=k$

并最大化 $\sum_{i=1}^n b_i(a_i-b_i^2)$。

$1 \le n \le 10^5,1 \le a_i \le 10^9$。

题解

一道挺新颖的数学题，来记一下。

设 $f(x,i)$ 表示 $x(a_i-x^2)$。这是一个三次函数，比较难看。

使用一个常见的套路，设 $g(x,i)=f(x,i)-f(x-1,i)$。这样就变成了二次函数。

再对其求导，得到 $g'(x,i)=-6x+3$。因为 $x \in N^*$，故 $g$ 是单调递减的。

结合 $g$ 的实际意义，不难得出一个 $O(k \log n)$ 的算法：动态加 $b$，用大根堆维护所有 $g(b_i+1,i)$，每次取堆顶 $i$，将 $b_i$ 自增。

更进一步，利用 $g$ 的单调性，二分一个 $t$，对所有 $i$ 求出满足 $g(x,i) \ge t$ 的最大 $x$。判断 $\sum x$ 与 $k$ 的大小关系即可。复杂度 $O(n \log^2 V)$。

其实也可以不用二分，因为 $g(x,i)$ 是只和 $x$ 有关的二次函数，直接算就行了。复杂度 $O(n \log V)$。