CF1550F 题解

题意

传送门

数轴上顺次有 $n$ 个点 $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$。

有一只小青蛙，初始时在 $a_s$ 处。小青蛙有两个参数：步长 $d$ 和灵活程度 $k$。其中，步长 $d$ 是确定的，而灵活程度 $k$ 是可以调整的。

小青蛙可以从某个点跳到另一个点。但这是有要求的：小青蛙能从 $a_i$ 跳到 $a_j$，当且仅当 $d-k\leq |a_i-a_j|\leq d+k$。

给定 $a_1,...,a_n$ 和 $d$。你需要回答 $q$ 次询问，每次询问给定一个灵活程度 $k$ 和一个下标 $i$，你需要回答：此时的小青蛙能否跳到 $a_i$？

$1\leq n,q\leq 2\times 10^5$，$1\leq s,i\leq n$，$1\leq a_i,d,k\leq 10^6$，$a_1 < a_2 < \cdots < a_n$。

题解

借这题学习了整体二分。记一下。

发现答案有单调性，我们只需要对每个点求出能到达它的最小 $k$，就能 $O(1)$ 回答。

对值域整体二分，设当前值域区间为 $[l,r]$，考虑所有答案在 $[l,r]$ 的点。我们只需要将这些点分为 $[l,mid]$ 与 $(mid,r]$ 的两部分，递归解决即可。并由单调性，等价于根据 $k=mid$ 时的可达与否分组。

此时答案在 $[0,l)$ 的点已经存在，利用他们更新 $k=mid$ 时能跳到的点。

待考虑的点有两种方式更新：1. 由 $[0,l)$ 的一步跳到；2. 由第一种点跳到。第一种用 set 即可；第二种可以用队列和 set（类似广搜）。这样的方式可以保证 $O(n \log^2 n)$ 的复杂度。