二分图学习笔记

二分图判定

染色法。
另外，对于任意无向图，不存在奇环时一定是二分图。

二分图最大匹配

“任意两边都没有公共端点”的边的集合称为二分图的一组匹配。边数最大的匹配为最大匹配。
增广路：两端点都在左部，由非匹配、匹配、非匹配、匹配……非匹配的边组成的路径。将增广路上的匹配边与非匹配边取反，所得到的新的边集一定也是一组匹配，且边数+1。
匈牙利算法通过不断寻找增广路并将其取反，从而得到最大匹配。

bool dfs(int x) {
	for (int i = head[x]; i; i = nxt[i]) {
		int y = ver[i];
		if (!vis[y]) {
			vis[y] = 1;
			if (!match[y] || dfs(match[y])) {
				match[y] = x; return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}

for (int i = 1; i <= n; i++) {
	memset(vis, 0, sizeof (vis));
	if (dfs(i)) ans++;
}

算法实现中似乎并没有寻找增广路的部分，但仔细分析：
设x1尝试匹配y1，此时若y1没有匹配，则x1 ~ y1为增广路，匹配x1与y1即为取反增广路；
若y1匹配x2，那么dfs(x2)。此时发现x2与y2相连但未匹配，则x1 ~ y1 ~ x2 ~ y2为增广路，匹配边=1。将x2与y2匹配，x1与y1匹配即为取反增广路，匹配边=2。
匈牙利算法基于深搜实现，return值为找到/没找到增广路，递归时改变match，实质是将增广路取反的过程。

应用

二分图最大匹配难点在于建模。其要旨在于寻找“0要素”与“1要素”。
0要素：节点能分成两个独立的集合，集合内没有边相连。
1要素：每个节点只能与一条匹配边相连。

例：棋盘覆盖Acwing372
此题，我们将棋盘染色，对于格子（i，j），若i+j为偶数则染成白色，i+j为奇数则染成黑色。将格子作为二分图中的节点，满足0要素。放置骨牌相当于匹配两个节点，骨牌不能重合，满足1要素。要让骨牌不重叠的情况下尽量多放，即为求二分图的最大匹配。

一些NB的推广

最小点覆盖

在给定二分图中求出一个最小的点集 $S$ ，使得图中任意一条边都有至少一个端点属于 $S$ 。此集合称为二分图的最小点覆盖。
结论：二分图中最小点覆盖包含的点数=最大匹配数。
证明：略
例：AsteroidsPOJ3041
抽象：在一个矩阵中有若干点，每次选择一行或一列并标记其上所有点。问最少需要几次操作标记所有点。
将行作为二分图的左部，列作为二分图的右部，每个点作为一条边。每次操作选择一个点，并标记与之相联的所有边。易得，原问题的答案即为二分图中最小点覆盖包含的个数。

最大独立集

最大独立集为一个点集 $S$ ，且满足集合中任意两点没有边相连。此问题的求解在一般无向图中无法用多项式时间复杂度解决，但在二分图中有巧妙的转化方法。
结论：二分图的大小为n，则其最大独立集的大小=n-最大匹配数。
证明：
选出最多的点构成独立集
⇔在图中删去最少的点，并删去这些点的相连边，使图中没有边
⇔用最少的点覆盖所有边
⇔求解最小点覆盖
于是，去掉二分图的最小点覆盖，剩下的所有点构成最大独立集。
例：骑士放置Acwing378
我们可以惊奇地发现，当对棋盘染色（同上）后，白点只能走到黑点，黑点只能走到白点。于是考虑构建二分图。白点为左部，黑点为右部。连接一个点与其能跳到的所有点。那么，相邻的两点不可以同时选择。求最多选择多少点，即为求最大独立集。

最小路径点覆盖

简称最小路径覆盖。对于一张DAG，用最少的互不相交的路径覆盖所有点。“相交”定义为经过相同的点。单独一点也算一条路径。
将图中每个点拆成两个点：入点与出点，每条有向边从出点指向入点。新图记为 $G_2$ 。
结论：最小路径点覆盖包含的路径条数=n- $G_2$ 的最大匹配数。
不难看出 $G_2$ 为二分图。不妨设出点为左部，入点为右部。则最小路径覆盖中的所有边在 $G_2$ 中构成一组匹配。且每条路径的终点的出点一定为孤立点，所有出点为孤立点的点一定为路径的终点。于是问题转化为：求二分图左部的非匹配点最少为多少。于是得到以上结论。

最小路径可重复点覆盖

概念与上相似，但路径可以相交。
结论：对原图求传递闭包，在新图上的最小路径点覆盖即为答案。证明略。
例：捉迷藏Acwing379
藏身点个数=最小路径可重复点覆盖。
证明：即路径的终点集合为 $E$ 。 $next(E)$ 表示 $E$ 中所有点能到达的点的集合。对于 $E$ 中的一点 $x$ ：
若 $x∉next(E)$ ，则 $x$ 可以作为藏身点；
若 $x∈next(E)$ ，则逆着此路径倒着走，直到 $x∉next(E)$ 为止。可证明此 $x$ 一定存在。用反证法：若此路径上的所有点都∈next(E)，那么此路径不必存在，与“最少路径”矛盾。