动态规划DP入门问题----最大连续子序列，最长不下降子序列（可以不连续），最长公共子序列

一、最大连续子序列

1.题目叙述

对于一个数字序列A1A2A3...An,求出连续子序列的最大和，如对于序列-2,11，-4,13，-5，-2，其中的最大序列和是11+（-4）+13=20 

2.动态规划解法

将问题拆分成子问题，即dp[i]表示以A[i]为结尾的子序列的最大和，最后对于这些dp数组找出最大值即可，状态转移方程为：
dp[i] = max{ dp[i-1] + A[i] }  状态dp[i]表示，当前以A【i】结尾的子序列的最大和3.方法一是经典算法，方法二是根据状态方程优化而来。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

int maxSum1(int arr[],int n){
    int dp[10];
    int ans = INT32_MIN;
    dp[0] = arr[0];//初始化
    for(int i=1;i&lt;n;i++){
        dp[i] = max(dp[i-1]+arr[i], arr[i]);
        ans = max(ans,dp[i]);
    }
    return ans;
}

int maxSum2(int arr[],int n){
    int dp = arr[0];
    int m = arr[0];
    for(int i=1;i&lt;n;i++){
        if(dp&lt;0){
            dp = arr[i];
        }
        else dp+=arr[i];
        if(dp&gt;m){
            m = dp;
        }
    }
    return m;
}

int main(){
    //-2,6,-1,5,4,-7,2,3
    //dp[i] = max{dp[i-1]+A[i], A[i]}
    int arr[8]={-2,6,-1,5,4,-7,2,3};
    cout<<"algorithm 1:" <<maxSum1(arr,8)<<endl;
    cout<<"algorithm 2: "<<maxSum2(arr,8)<<endl;
    return 0;
}

二、最长公共子序列（可以不连续）

状态转移函数：

if(a == b)
    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
else{
    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
}

for(int i=1; i<=n1; i++){
            for(int j=1; j<=n2; j++){
                char a = text1[i-1];
                char b = text2[j-1];
                if(a == b)
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
                else{
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
                }
            }
        }

观察可以发现空间可以使用两个一维数组即可

for(int i=1; i<=n1; i++){
            for(int j=1; j<=n2; j++){
                char a = text1[i-1];
                char b = text2[j-1];
                if(a == b)
                    dp[i%2][j] = dp[(i+1)%2][j-1] + 1;
                else{
                    dp[i%2][j] = max(dp[(i+1) % 2][j], dp[i][j-1]);
                }
            }
        }

三、最长单调递增序列

状态转移方程：

dp[i]=max(dp[j])+1,其中0≤j<i且num[j]<num[i]

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        vector<int> dp(nums.size());
        dp[0] = 1;
        int ans = 1;
        for(int i=1; i<nums.size(); i++){
            int cur_max = 0;
            for(int j=0; j<i; j++){
                if(nums[j] < nums[i])
                    cur_max = max(cur_max, dp[j]);
            }
            dp[i] = cur_max + 1;
            cout<<dp[i]<<" ";
            ans = max(ans, dp[i]);
        }
        return ans;
    }
};

时间复杂度$O(n^2)$
也可以使用贪心加二分的方法，基本思路举个例子就比较容易明白，比如序列是78912345，前三个遍历完以后tail是789，这时候遍历到1，就得把1放到合适的位置(使用二分），于是在tail二分查找1的位置，变成了189（如果序列在此时结束，因为res不变，所以依旧输出3），再遍历到2成为129，然后是123直到12345 .