20210408-算法学习-查找算法(SearchAlgorithm)-斐波那契-黄金分割法(FibonacciSequence)

一.斐波那契(黄金分割法)查找算法

　　1.斐波那契(黄金分割法)查找基本介绍：

　　　　黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
　　　　取其前三位数字的近似值是 0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
　　　　这是一个神奇的数字，会带来意向不大的效果

　　　　斐波那契数列 {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 } 发现斐波那契数列的两个相邻数的比例，无限接近黄金分割值0.618

　　1.1.斐波那契(黄金分割法)原理：斐波那契查找原理与前两种相似，仅仅改变了中间结点（mid）的位置，mid 不再是中间或插值得到，而是位于黄金分割点附近，即 mid=low+F(k-1)-1（F 代表斐波那契数列），如下图所示

　　　　对 F(k-1)-1 的理解：

　　　　　　1) 由斐波那契数列 F[k]=F[k-1]+F[k-2] 的性质，可以得到（F[k]-1）=（F[k-1]-1）+（F[k-2]-1）+1 。该式说明：
　　　　　　　　只要顺序表的长度为 F[k]-1，则可以将该表分成长度为 F[k-1]-1 和 F[k-2]-1 的两段，即如上图所示。从而中间位置为 mid=low+F(k-1)-1
　　　　　　2) 类似的，每一子段也可以用相同的方式分割
　　　　　　3) 但顺序表长度 n 不一定刚好等于 F[k]-1，所以需要将原来的顺序表长度 n 增加至 F[k]-1。这里的 k 值只要能使
　　　　　　　　得 F[k]-1 恰好大于或等于 n 即可，由以下代码得到,顺序表长度增加后，新增的位置（从 n+1 到 F[k]-1 位置），都赋为 n 位置的值即可
　　　　　　　　while(n>fib(k)-1)
　　　　　　　　k++;

　　1.1.算法核心：精髓：采用最接近查找长度的斐波那契数值来确定拆分点

　　　　1）举个例子来讲，现有长度为9的数组，要对它进行拆分，对应的斐波那契数列（长度先随便取，只要最大数大于9即可）{1，1，2，3，5，8，13，21，34}，
　　　　　　不难发现，大于9且最接近9的斐波那契数值是f[7]=13，为了满足所谓的黄金分割，所以它的第一个拆分点应该就是f[7]的前一个值f[6]=8，即待查找数组array的第8个数，对应到下标就是array[8]，依次类推

　　　　2）推演到一般情况，假设有待查找数组array[n]和斐波那契数组F[k],并且n满足n>=F[k]-1&&n < F[k+1]-1，则它的第一个拆分点middle=F[k-1]，即mid = low+F[k-1]-1
　　　　　　所以我们可以得到：当n=F[k]-1时，mid = low+F[k-1]-1
　　　　　　　　当n=F[k-2]-1时，mid = low+F[k-3]-1，令k=k-2，则mid = low+F[k-1]-1

二.斐波那契查找应用案例

　　2.案例：请对一个有序数组进行斐波那契查找 {1,8, 10, 89, 1000, 1234} ，输入一个数看看该数组是否存在此数，并且求出下标，如果没有就提示"没有这个数"

　　2.1.代码示例：

package com.atAlgorithmTest;
/**
 * @Author: lisongtao
 * @Date: 2021/4/8 22:16
 */
import java.util.Arrays;
 
/**
 * @ClassName FibonacciSearch
 * @Description : 斐波拉契-黄金分割数列
 * @Author DELL
 * @Date 2021/04/08 22:16
 **/
public class FibonacciSearch {
    public static int maxSize = 20;
 
    public static void main(String[] args) {
        //请对一个有序数组进行斐波那契查找 {1,8, 10, 89, 1000, 1234} ，输入一个数看看该数组是否存在此数，并且求
        //出下标，如果没有就提示"没有这个数"
        int[] arr = {1, 8, 10, 89, 1000, 1234};
        System.out.println("index="+fibSearch(arr,10));
    }
 
    //因为后面我们 mid=low+F(k-1)-1，需要使用到斐波那契数列，因此我们需要先获取到一个斐波那契数列
    //非递归方法得到一个斐波那契数列
    public static int[] fib() {
        int[] f = new int[maxSize];
        f[0] = 1;
        f[1] = 1;
        for (int i = 2; i < maxSize; i++) {
            f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
        }
        return f;
    }
    //编写斐波那契查找算法
    //使用非递归的方式编写算法
 
    /**
     * @param arr 数组
     * @param key 我们需要查找的关键码(值)
     * @return 返回对应的下标，如果没有-1
     */
    public static int fibSearch(int[] arr, int key) {
        int low = 0;
        int high = arr.length - 1;
        int k = 0;//表示斐波那契分割数值下标
        int mid = 0;//存放 mid 的值
        int f[] = fib();//获取到 斐波那契数列
        //获取到斐波那契分割数值的下标
        while (high > f[k] - 1) {
            k++;
        }
        //因为 f[k] 值 可能大于 a 的 长度，因此我们需要使用 Arrays 类，构造一个新的数组，并指向 temp[]
        //不足的部分会使用 0 填充
        int[] temp = Arrays.copyOf(arr, f[k]);
        //实际上需求使用 a 数组最后的数填充 temp
        //举例：temp = {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 0, 0} => {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 1234, 1234,}
        for (int i = high + 1; i < temp.length; i++) {
            temp[i] = arr[high];
        }
 
        // 使用 while 来循环处理，找到我们的数 key
        while (low <= high) {//只要这个条件满足，就可以找
            mid = low + f[k - 1] - 1;
            if (key < temp[mid]) { //我们应该继续向数组的前面查找(左边)
                high = mid - 1;
                //为甚是 k--
                //说明
                //1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
                //2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
                //因为 前面有 f[k-1]个元素,所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-2] + f[k-3]
                //即 在 f[k-1] 的前面继续查找 k--
                //即下次循环 mid = f[k-1-1]-1
                k--;
            } else if (key > temp[mid]) {// 我们应该继续向数组的后面查找(右边)
                low = mid + 1;
                //为什么是 k -=2
                //说明
                //1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
                //2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
                //3. 因为后面我们有 f[k-2] 所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-3] + f[k-4]
                //4. 即在 f[k-2] 的前面进行查找 k -=2
                //5. 即下次循环 mid = f[k - 1 - 2] - 1
                k -= 2;
            } else {//找到
                //需要确定，返回的是哪个下标
                if (mid <= high) {
                    return mid;
                } else {
                    return high;
                }
            }
        }
        return -1;
    }
}