【洛谷】P2568 GCD

前言

耻辱，我这个OI界的耻辱！

 题目描述

  给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对.
输入格式
  一个整数N
输出格式
答案
输入输出样例
  输入
  4
  输出
  4
说明/提示
  对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)
  1<=N<=10^7

分析

  刚学（抄）完莫比乌斯反演做完P2522和P3455的我刚看到这个题第一反应竟然是

  这不是个莫比乌斯反演的板子题吗 <----zz言论

  看我切了他  <----zz行为

   瞄了一眼算法标签额。。。嗯？？？？？欧拉函数？？？前缀和？？？

  于是老老实实想出了正常点的解法，写个博客记录一下自己的zz行为（免得今年csp上写一个莫比乌斯反演出来

---

  首先$\gcd (a,b)$为素数，那么$a$与$b$肯定只有1与$\gcd (a,b)$这两个公约数，

  不妨考虑$\gcd (a,b)=1$,然后$a$和$b$同时乘上一个素数即可

  考虑每个数的贡献。为了防止算重复，每个数只计算比它小的数。

  根据欧拉函数的定义可知，对于一个数$a$，有$\varphi (a)$个比它小且与它互质的数

  这$\varphi (a)$个数每个数乘上一个素数$p$,与$ap$的$gcd$都是素数$p$，都会对答案造成贡献

  而且只要$ap<=n$，其它数都小于等于$n$。

  所以对于每个数$a$，枚举最大的素数$p$满足$ap<=n$,如果$p$是第$k$个质数,$\varphi (a)k$就是$a$的贡献。

  从小到大枚举$a$，那么对应的$p$肯定从大到小递减，具有单调性，可以$O(n)$计算。

  另外，还要每个素数与自己取$gcd$的情况也要计算。

  Code

#include<cstdio>
int n,p[10000005],phi[10000005],unp[10000005];
long long ans;
void prework()
{
    unp[1]=phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!unp[i])p[++p[0]]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;1ll*p[j]*i<=n;j++)
        {
            unp[p[j]*i]=1;
            if(i%p[j])phi[p[j]*i]=(p[j]-1)*phi[i];
            else {phi[p[j]*i]=p[j]*phi[i];break;}
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);prework();
    for(int i=2,j=p[0];i<=n;i++)
    {
        while(1ll*p[j]*i>n&&j)j--;
        ans+=1ll*phi[i]*j;
    }
    printf("%lld\n",ans*2+p[0]);
}