洛谷题解 | AT_abc321_c Primes on Interval
题目翻译
【题目描述】
你决定用素数定理来做一个调查. 众所周知, 素数又被称为质数，其含义就是除了数字一和本身之外不能被其他任何的数字除尽.
现在给定一个正整数序列 $a,a+1,\cdots,b$ $(a \le b)$, 请找出一个最小值 $l$, 使其满足对于任意一个长度为 $l$ 的子串, 都包含 $k$ 个质数.
找到并输出符合要求的最小值 $l$, 如果不存在符合要求的长度 $l$, 则输出 $-1$.
【输入格式】
输入一行, 包含三个用空格隔开的整数 $a,b,k$ ($1 \le a,b,k \le 10^{6}; a \le b$)
【输出格式】
输出一行, 为符合要求的最小值 $l$, 若不存在, 输出 $-1$.
题目描述
You've decided to carry out a survey in the theory of prime numbers. Let us remind you that a prime number is a positive integer that has exactly two distinct positive integer divisors.
Consider positive integers $a$ , $a+1$ , $...$ , $b$ $(a<=b)$ . You want to find the minimum integer $l$ $(1<=l<=b-a+1)$ such that for any integer $x$ $(a<=x<=b-l+1)$ among $l$ integers $x$ , $x+1$ , $...$ , $x+l-1$ there are at least $k$ prime numbers.
Find and print the required minimum $l$ . If no value $l$ meets the described limitations, print -1.
输入格式
A single line contains three space-separated integers $a,b,k$ ( $1<=a,b,k<=10^{6}; a<=b$ ).
输出格式
In a single line print a single integer — the required minimum $l$ . If there's no solution, print -1.
样例 #1
样例输入 #1
2 4 2
样例输出 #1
3
样例 #2
样例输入 #2
6 13 1
样例输出 #2
4
样例 #3
样例输入 #3
1 4 3
样例输出 #3
-1
题目简化
求一个区间内，任意长度为 $l$ 的子串中都包含 $k$ 个质数的最小 $l$。
题目思路
初始化一个数组存储从 $2$ 开始的所有素数。初始化后，这个数组中所有值都是 true，表示对应的数是素数。
使用埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）来找出所有小于 $MAX$ 的素数。这个算法的主要思想是，如果一个数不是素数，那么它必定有一个因子小于或等于其平方根。因此，我们只需要检查到每个数的平方根即可。
在主循环中，读取三个输入：$a$, $b$ 和 $k$。然后，创建一个队列 $q$ 并把 $a-1$ 放入队列。
接下来，进行一系列操作来找出在区间 $\text [a, b]$ 中，长度为 $k$ 的所有素数子序列。如果存在这样的子序列，那么就更新 $res$ 的值。
如果 $q$ 的头部元素是 $a-1$，那么就输出 $\texttt -\texttt 1$，否则输出 $res$。
AC代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define li long long int
#define rep(i,to) for(li i=0;i<((li)(to));++i)
#define pb push_back
#define sz(v) ((li)(v).size())
#define bit(n) (1ll<<(li)(n))
#define all(vec) (vec).begin(),(vec).end()
#define each(i,c) for(__typeof((c).begin()) i=(c).begin();i!=(c).end();i++)
#define MP make_pair
#define F first
#define S second
#define MAX 1000500
li is_prime[MAX];
int main()
{
rep(i, MAX)if(2 <= i) is_prime[i] = true;
for(li i = 2; i * i < MAX; i++){
if(!is_prime[i]) continue;
for(li j = i * i; j < MAX; j += i) is_prime[j] = false;
}
li a, b, k;
cin >> a >> b >> k;
queue<li> q;
li res = -1;
q.push(a - 1);
for(li pos = a; pos <= b; pos++){
if(is_prime[pos]) q.push(pos);
while(k < sz(q)) q.pop();
if(sz(q) == k) res = max(res, pos - q.front() + 1);
}
if(q.front() == a - 1) cout << -1 << endl;
else cout << res << endl;
}
