[学习笔记]概率与期望小结

写在前面：由于本人学术垃圾，所以概括不是很全面，大概，，只有概念性内容？

也许之后会有例题吧，不管。

概率

致谢：百度百科。

算了不写基本定义了，建议参考：百度百科，oi-wiki 。

emm我想写的是什么捏。

我们姑且规定： \(A\cup B\) 可写作 \(A+B\) ， \(A\cap B\) 可写作 \(AB\) ， \(A-B\) 表示 \(A\) 与 \(B\) 的差集。

概率函数：

概率函数 \(P\) 是一个事件域 \(F\) 到闭区间 \(\left[ 0,1\right]\) 上的映射，满足以下性质：

• 规范性：设 \(\Omega\) 表示所有可能事件之和，有 \(P(\Omega)=1\) 。

• 可数可加性：若 \(A_1,A_2,A_3...\) 两两不交，则有 \(P(\bigcup _{i\geq 1} A_i)=\sum _{i \geq 1} P(A_i)\) 。

对于任意随机事件 \(A,B \in F\) ，存在：

• 单调性：若 \(A \subset B\) ，则有 \(P(A) \subseteq P(B)\) 。
• 容斥原理： $$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),P(A_B)=P(A)-P(AB)$$

条件概率

若已知 \(A\) 发生，在此基础上求 \(B\) 发生的概率，用 \(P(B|A)\) 表示。

若 \(A\subset F\) ，且 $P(A)>0 $ ：$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)},\forall B \in F$$

由此可推概率乘法公式： $$P(AB)=P(A)P(B|A)$$ 其中\(P(A)>0 \& \forall B \in F\) 。

全概率公式：若 \(A_1,A_2...A_n\) 两两不交且 $\sum_{1\leq i \leq n} A_i=\Omega $，则有 $$P(B)=\sum_{1\leq i \leq n} P(A_i)P(B|A_i)$$

贝叶斯公式：设导致事件 \(B\) 发生的原因为 \(A_1,A_2...A_n\) ，则有：$$P(A_i|B)=\frac{P(A_iB)}{P(B)}=\frac {P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{j=1}^n P(A_j)P(B|A_j)}$$

期望

期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，一般用 \(E(X)\) 表示。

基本概念参考 百度百科，oi-wiki 。

1. \(E(X+Y)+E(X)+E(Y)\)

   证明： 设 \(P_i,Q_i\) 分别为 \(X,Y\) 第 \(i\) 个事件发生的概率。

\[\begin{aligned} E(X+Y) & =\sum_i\sum_j(X_i+Y_j)P_iQ_j \\ & = \sum_i\sum_jX_iP_iQ_j+\sum_i\sum_jY_jP_iQ_j \\ & = \sum_iX_iP_i\sum_jQ_j+\sum_jY_jQ_j\sum_iP_i\\ & = \sum_iX_iP_i+\sum_jY_jQ_j\\ & =E(X)+E(Y)\\ \end{aligned} \]

2. \(E(XY)=E(X)E(Y)\)，前提： \(X,Y\) 独立。

   顺便，\(X,Y\) 独立 \(\Rightarrow\) \(E(XY)=E(X)E(Y)\) ，但是 \(E(XY)=E(X)E(Y)\nRightarrow X,Y\) 独立。

   证明：设 \(P_i,Q_i\) 分别为 \(X,Y\) 第 \(i\) 个事件发生的概率。

\[\begin{aligned} E(XY) & =\sum_i\sum_jX_iY_jP_iQ_j\\ & = (\sum_iX_iP_i)(\sum_jY_jQ_j) \\ & = E(X)E(Y)\\ \end{aligned} \]

3. \(E(aX)=aE(X)\) ，其中 \(a\) 为常数。

   证明：首先，若 \(a\) 为常数，则 \(E(a)=a\) ， 由上，得 $$E(aX)=E(a)E(X)=aE(X)$$

4. \(E(aX+b)=aE(X)+b\) ， 其中 \(a,b\) 均为常数。

   证明：$$E(aX+b)=E(aX)+E(b)=aE(X)+b$$

5. \(E^2(X)\ne E(X^2)\)，原因： \(X\) 与 \(X\) 不独立。

6. \(E^2(X+1)=E^2(X)+2E(X)+1\)

   证明：

\[\begin{aligned} E^2(X+1) & =E(X+1)E(X+1)\\ & = (E(X)+1)(E(X)+1) \\ & = E^2(X)+2E(X)+1 \\ \end{aligned} \]

---

大概就这些？