[学习笔记]概率与期望小结

写在前面：由于本人学术垃圾，所以概括不是很全面，大概，，只有概念性内容？

也许之后会有例题吧，不管。

概率

致谢：百度百科。

算了不写基本定义了，建议参考：百度百科，oi-wiki 。

emm我想写的是什么捏。

我们姑且规定： $A\cup B$ 可写作 $A+B$ ， $A\cap B$ 可写作 $AB$ ， $A-B$ 表示 $A$ 与 $B$ 的差集。

概率函数：

概率函数 $P$ 是一个事件域 $F$ 到闭区间 $[0,1]$ 上的映射，满足以下性质：

• 规范性：设 $\mathrm{\Omega }$ 表示所有可能事件之和，有 $P(\mathrm{\Omega })=1$ 。

• 可数可加性：若 $A_1,A_2,A_3...$ 两两不交，则有 $P(\bigcup _{i\ge 1}{A}_i)=\sum _{i\ge 1}P(A_i)$ 。

对于任意随机事件 $A,B\in F$ ，存在：

• 单调性：若 $A\subset B$ ，则有 $P(A)\subseteq P(B)$ 。
• 容斥原理： $$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),P(A_B)=P(A)-P(AB)$$

条件概率

若已知 $A$ 发生，在此基础上求 $B$ 发生的概率，用 $P(B|A)$ 表示。

若 $A\subset F$ ，且 $P(A)>0$ ：

$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)},\mathrm{\forall }B\in F$$

由此可推概率乘法公式：

$$P(AB)=P(A)P(B|A)$$ 其中$P(A)>0\mathrm{\&}\mathrm{\forall }B\in F$ 。

全概率公式：若 $A_1,A_2...A_n$ 两两不交且 $\sum _{1\le i\le n}{A}_i=\mathrm{\Omega }$，则有

$$P(B)=\sum _{1\le i\le n}P(A_i)P(B|A_i)$$

贝叶斯公式：设导致事件 $B$ 发生的原因为 $A_1,A_2...A_n$ ，则有：

$$P(A_i|B)=\frac{P(A_{i}B)}{P(B)}=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum _{j=1}^{n}P(A_j)P(B|A_j)}$$

期望

期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，一般用 $E(X)$ 表示。

基本概念参考 百度百科，oi-wiki 。

1. $E(X+Y)+E(X)+E(Y)$

   证明： 设 $P_i,Q_i$ 分别为 $X,Y$ 第 $i$ 个事件发生的概率。

$$\begin{array}{rl}E(X+Y)& =\sum _i\sum _j(X_i+Y_j)P_i{Q}_j\\ & =\sum _i\sum _j{X}_i{P}_i{Q}_j+\sum _i\sum _j{Y}_j{P}_i{Q}_j\\ & =\sum _i{X}_i{P}_i\sum _j{Q}_j+\sum _j{Y}_j{Q}_j\sum _i{P}_i\\ & =\sum _i{X}_i{P}_i+\sum _j{Y}_j{Q}_j\\ & =E(X)+E(Y)\end{array}$$

2. $E(XY)=E(X)E(Y)$，前提： $X,Y$ 独立。

   顺便，$X,Y$ 独立 $\Rightarrow$ $E(XY)=E(X)E(Y)$ ，但是 $E(XY)=E(X)E(Y)\nRightarrow X,Y$ 独立。

   证明：设 $P_i,Q_i$ 分别为 $X,Y$ 第 $i$ 个事件发生的概率。

$$\begin{array}{rl}E(XY)& =\sum _i\sum _j{X}_i{Y}_j{P}_i{Q}_j\\ & =(\sum _i{X}_i{P}_i)(\sum _j{Y}_j{Q}_j)\\ & =E(X)E(Y)\end{array}$$

3. $E(aX)=aE(X)$ ，其中 $a$ 为常数。

   证明：首先，若 $a$ 为常数，则 $E(a)=a$ ， 由上，得

   $$E(aX)=E(a)E(X)=aE(X)$$

4. $E(aX+b)=aE(X)+b$ ， 其中 $a,b$ 均为常数。

   证明：

   $$E(aX+b)=E(aX)+E(b)=aE(X)+b$$

5. $E^2(X)\ne E(X^2)$，原因： $X$ 与 $X$ 不独立。

6. $E^2(X+1)=E^2(X)+2E(X)+1$

   证明：

$$\begin{array}{rl}{E}^2(X+1)& =E(X+1)E(X+1)\\ & =(E(X)+1)(E(X)+1)\\ & =E^2(X)+2E(X)+1\end{array}$$

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大概就这些？