解析《算法导论》中红黑树的插入和删除算法

　　首先红黑树是一种接近平衡的二叉查找树，它的的性质如下：

1. 每个结点或是红的或是黑的。（也就是说，delete一个黑色结点y之后x结点带有双重颜色红黑或者黑黑，那么应该去掉一层红色或黑色，直接将x涂黑或者在根结点到x的路径上增加一个黑色结点，增加的方法后面会提到）
2. 根结点是黑的。（这是一个必须注意的性质，因为空红黑树根结点是nil哨兵结点，哨兵结点必须是黑色的）
3. 每个叶节点（nil结点）是黑的。（nil一定是黑色的，nil是红色的，将有可能会违反性质4）
4. 如果一个结点是红色的，则它的两个儿子都是黑的（也就是说红黑树中不可能出现连着的两个结点是红色的情况，一条路径至少是全黑的，至多是红黑交替的，也就解释了红黑树为什么是一种伪平衡的二叉树）
5. 对每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上包含相同数目的黑结点。（这里应该注意，路径应该指该结点到叶节点（nil结点）的路径，也就是说假如有这样一颗红黑树：

　　

　　实际路径应该有三条：1）5-3-nil，2）5-3-4-nil，3）5-6-nil，不会出现这样的红黑树：某个结点有一个非nil的黑色的儿子结点，另外一个为黑色的nil结点）

　　这5条性质是非常重要的，是insert-fixup，delete-fixup算法的基础。

 

　　在介绍红黑树的插入，删除算法前先介绍红黑树左旋，右旋算法：

　　
　　图示即为红黑树的左旋和右旋算法，具体实现不多说了，左旋和右旋用在红黑树的insert-fixup，delete-fixup算法中，因为无论insert还是delete操作，都可能会造成红黑树的性质被破坏，insert可能会破坏性质4，插入一个红色结点z之后，如果z的父亲结点是红色，我们应该将z的父亲结点涂黑，这时根结点到z的父亲结点这条路径将会增加一个黑色结点，而delete算法中，删除一个黑色结点y后，将会造成根结点到代替y结点的x结点的路径的黑色结点数目减少一个黑结点，而左旋和右旋，则是通过在一条路径上增加和减少结点，再通过一定数目结点颜色的改变，修复了insert和delete算法。（以图示为例，左旋在根结点到α结点的路径上减少了一个结点y，在根结点到结点γ的路径上增加了一个结点x，而根结点到β结点的路径中的结点不变只是改变了x，y结点的顺序，如果x结点是红色的，y结点是黑色的，那么根结点到结点α的路径的黑高度减少1，根结点到γ结点的路径的黑高度不变，根结点到β结点的路径的黑高度不变，再想想insert和delete算法造成的后果，是不是可以用这条性质巧妙的去修复呢？）

　　下面将重点介绍红黑树的insert和delete算法：

 

　　insert算法:

　　主体思路前面基本同二叉查找树，就是从根结点向下依次比较每个结点，小于则去比较左儿子结点，大于则去比较右儿子结点，直到要比较的结点变成nil，这时候在当前位置插入一个红色的结点z，insert算法的伪代码如下：

　　插入之后可能出现z的父亲结点为红色结点的情况，违反了红黑树的性质4，这时需要调用insert-fixup算法来进行修复，insert-fixup的伪代码如下：

　　伪代码给出了三种情况，无论哪种情况，要么是为了达到平衡两个结点路径黑结点数目的目的，要么是通过变形来间接达到这个目的。以z->p是z->p->p的左儿子为例，让y为z的叔叔结点：

　　1）如果y结点是红色的，则有case 1如下：

　　

　　在case 1中，首先将z->p涂黑，再将z->p->p涂红，最后将y涂黑。将z->p的颜色和z->p->p的颜色对换一下，再将y涂黑，其实是把z->p->p的黑色分发到两个红色儿子结点中，而其自身变为红色，维持了性质5，即维护了所有路径黑结点数量的一致性。这里要提出的一个小细节是，红色结点变黑色不用考虑结点颜色冲突，而黑色结点变红色则要考虑结点颜色冲突，红变黑，随意变，黑变红，看冲突（不考虑性质5的前提下）。因为z->p->p是由黑色变红的，这时将z指向z->p->p，如果不出现结点颜色冲突的情况则完成修复，有颜色冲突则进入下一轮循环。

　　2）如果y结点是黑色的，y应该是nil结点，如果z是z->p的左儿子的话，先分析case 3如下：

　　

　　在case 3中，首先也是将z->p涂黑，z->p->p涂红，这时候，我们就会发现根结点到y结点路径中的黑结点数目减少了1，我们再回顾一下前面对左旋、右旋方法的介绍，那么我们会发现，左旋、右旋的意义就在于此了：RIGHT-ROTATE(T,z->p->p)后，为根结点到y结点的路径上增加了一个黑色结点z->p，为根结点到z结点的路径上减少了一个红色结点z->p->p，一条路径增加黑色结点，另一条路径减少红色结点，insert就这样被修复了。

　　3）如果y结点是黑色的，y应该是nil结点，如果z是z->p的右儿子的话，在分析了case 3的基础上分析case 2如下：

　　

　　在case 2中，前面我们按照case 3的做法，将z->p涂黑，z->p->p涂红，这时候，想对红黑树进行修复的话，你会想到什么呢？和case 3一样直接RIGHT-ROTATE(T,z->p->p)么？如果直接RIGHT-ROTATE(T,z->p->p)的话，红色结点z将变成红色结点z->p->p的左儿子，其实是做了无用功。那我们就想办法把它变成case 3的那种形式吧，LEFT-ROTATE(T,z)，很容易想到吧，LEFT-ROTATE(T,z)之后z，z->p，z->p->p又变成了我们喜闻乐见的三点一线的形式，也就是case 3。

　　delete算法：

　　主题思路基本同二叉查找树，就是结点z有至多一个儿子时，让y=z，然后删除结点y用结点y的儿子x（x可以是nil，这时nil->p可指向z->p，体现了哨兵的作用）去取代结点y，z有两个儿子时，删除结点z的后继y，并用y的唯一的儿子结点x取代y

 

　　无论哪种情况删除的都是结点z，而y代表了被“删除”的结点的位置，无论y是z本身还是z的后继结点，y原来位置的结点都被删除或者移走了了，而x则代表了取代y位置结点的那个结点（x结点可以是哨兵结点nil，这时nil就体现了它作为哨兵结点的作用，因为nil->p=y，指向了被“删除”结点的位置），被删除的结点y为黑色，那么根结点到x结点的路径（x是nil结点时，也与性质5相吻合）中的黑色结点数目将会减少1，RB-DELETE-FIXUP(T,x)

 

　　初看RB-DELETE-FIXUP算法，千万被算法中的4个case吓到了，我们只要记住一点，无论哪个case，要么是为了达到平衡两个结点路径黑结点数目的目的，要么是通过变形来间接达到这个目的，只需抓住每种情况的特点逐一击破就可以了。令w结点为x的兄弟结点，以x结点为左儿子为例：

　　1）如果w的右儿子颜色为红色，则有case 4如下：

　　

　　路径root到x的黑结点数少1，这时候我们调换x->p和w的颜色，并将w->right涂黑，再进行一次左旋得到下面的红黑树：

　　

　　可以发现，得到的红黑树对RB-DELETE操作成功进行了修复，所以说以x->p为根结点的子树不满足这一形式时，应该通过一定的变形和一定数目结点颜色的改变，来满足这一形式。

　　2）如果w的左儿子结点为红色，右儿子结点为黑色，有case 3如下：

　　

　　这时候我们应该想如何将case 3变为case 4中的那种形式，还要维持红黑树的性质，我们看到w->left是红色，那么我们就将其涂黑，然后将w涂红，再对w进行右旋，得到：

　　

　　变为case 4的那种形式，即可进入case 4对红黑树进行修复操作。

　　3）如果w为红色时，则有case 1如下：

　　

　　这时，将w涂黑，将x->p涂红，然后进行左旋，得到的以w为结点的红黑树如下：

　　

　　进行变形之后不会改变每条路径的黑色结点数目，这时将w重新做指向，令w=x->p->right，这样w变成了黑色结点，在下一轮循环时可能进入case 2、3、4。

　　4）如果w的两个儿子为黑色，则有case 2如下：

　　

　　这时，将w涂红，root结点到x->p为根子树的每个叶子结点的路径将比其他路径少的黑结点数目少1，将x->p设为x，若x为红结点，将其涂黑即可成功修复二叉树；若x为黑结点，即进入下一轮循环，可能出现case 1、2、3、4。如果连续出现的是case 2其结果就相当于最后在除root到最初的x结点的每条路径上减少一个黑色结点，直到x为root结点，结束循环。

 

　　case之间的状态转移如下：

• 1->2，3，4

• 2->1，2，3，4，修复（只有case 2是将x上移，因此case 2可能会终于于x=root）

• 3->4

• 4->修复

 

　　总结，对insert和delete算法的修复算法，我们可以发现如果当前的红黑树不能直接修复时，则通过

1. 改变x的指向和一些结点的颜色
2. 改变二叉树的形状和一些结点的颜色来得到一个可以修复的case

　　改变时应该注意保持每条路径的黑色结点数目不变（即使改变前每条路径的黑色结点不一致，也要保证改变前后每条路径黑色结点数目不变），具体怎么去改变，则要通过自己多在纸上画画图了。