二叉树

许多实际问题抽象出来的数据结构往往是二叉树的形式，即使是一般的树也能简单地转换为二叉树，而且二叉树的存储结构及其算法都较为简单，因此二叉树显得特别重要。

 

二叉树的定义 

1.二叉树的递归定义
    　二叉树(BinaryTree)是n(n≥0)个结点的有限集，它或者是空集(n=0)，或者由一个根结点及两棵互不相交的、分别称作这个根的左子树和右子树的二叉树组成。

2．二叉树的五种基本形态
    　二叉树可以是空集；根可以有空的左子树或右子树；或者左、右子树皆为空。

 

 

 二叉树中，每个结点最多只能有两棵子树，并且有左右之分。
  　二叉树并非是树的特殊情形，它们是两种不同的数据结构。 

 

二叉树具有以下重要性质：

 

二叉树具有以下重要性质：
性质1 二叉树第i层上的结点数目最多为2^i-1(i≥1)。
证明：用数学归纳法证明：
　    归纳基础：i=1时，有2^i-1=2⁰=1。因为第1层上只有一个根结点，所以命题成立。
    　归纳假设：假设对所有的j(1≤j<i)命题成立，即第j层上至多有2^j-1个结点，证明j=i时命题亦成立。
    　归纳步骤：根据归纳假设，第i-1层上至多有2^i-2个结点。由于二叉树的每个结点至多有两个孩子，故第i层上的结点数至多是第i-1层上的最大结点数的2倍。即j=i时，该层上至多有2×2^i-2=2^i-1个结点，故命题成立。

性质2 深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点(k≥1)。
证明：在具有相同深度的二叉树中，仅当每一层都含有最大结点数时，其树中结点数最多。因此利用性质1可得，深度为k的二叉树的结点数至多为：
                2⁰+2¹+…+2^k-1=2^k-1
    故命题正确。

性质3 在任意-棵二叉树中，若终端结点的个数为n₀，度为2的结点数为n₂，则n_o=n₂+1。
证明：因为二叉树中所有结点的度数均不大于2，所以结点总数(记为n)应等于0度结点数、1度结点(记为n₁)和2度结点数之和：
                     n=n_o+n₁+n₂ (式子1)
　    另一方面，1度结点有一个孩子，2度结点有两个孩子，故二叉树中孩子结点总数是：
                      n_l+2n₂
　　树中只有根结点不是任何结点的孩子，故二叉树中的结点总数又可表示为：
                      n=n₁+2n₂+1 (式子2)
　　由式子1和式子2得到：
                      n_o=n₂+1

满二叉树和完全二叉树是二叉树的两种特殊情形。
1、满二叉树(FullBinaryTree) 
    　一棵深度为k且有2^k-1个结点的二又树称为满二叉树。
    　满二叉树的特点：
　　（1） 每一层上的结点数都达到最大值。即对给定的高度，它是具有最多结点数的二叉树。
　　（2） 满二叉树中不存在度数为1的结点，每个分支结点均有两棵高度相同的子树，且树叶都在最下一层上。

 

 

2、完全二叉树(Complete BinaryTree) 
    若一棵二叉树至多只有最下面的两层上结点的度数可以小于2，并且最下一层上的结点都集中在该层最左边的若干位置上，则此二叉树称为完全二叉树。
  特点：
  （1） 满二叉树是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树。
  （2） 在满二叉树的最下一层上，从最右边开始连续删去若干结点后得到的二叉树仍然是一棵完全二叉树。
  （3） 在完全二叉树中，若某个结点没有左孩子，则它一定没有右孩子，即该结点必是叶结点。
【例】如图(c)中，结点F没有左孩子而有右孩子L，故它不是一棵完全二叉树。
【例】图(b)是一棵完全二叉树。
  
性质4  具有n个结点的完全二叉树的深度为
                           
证明：设所求完全二叉树的深度为k。由完全二叉树定义可得：
　　深度为k得完全二叉树的前k-1层是深度为k-1的满二叉树，一共有2^k-1-1个结点。
由于完全二叉树深度为k，故第k层上还有若干个结点，因此该完全二叉树的结点个数：
                  n>2^k-1-1。
    　另一方面，由性质2可得：
                  n≤2^k-1，
       即：2^k-1-l<n≤2^k-1
    　由此可推出：2^k-1≤n<2^k，取对数后有：
                  k-1≤lgn<k
    　又因k-1和k是相邻的两个整数，故有
                                     ,
    　由此即得：
                  

 

 

顺序存储结构

 

 

　该方法是把二叉树的所有结点按照一定的线性次序存储到一片连续的存储单元中。结点在这个序列中的相互位置还能反映出结点之间的逻辑关系。

1．完全二叉树结点编号
（1） 编号办法
    　在一棵n个结点的完全二叉树中，从树根起，自上层到下层，每层从左至右，给所有结点编号，能得到一个反映整个二叉树结构的线性序列。
　　【例】如下图所示。 
   

（2） 编号特点
   　 完全二叉树中除最下面一层外，各层都充满了结点。每一层的结点个数恰好是上一层结点个数的2倍。从一个结点的编号就可推得其双亲，左、右孩子，兄弟等结点的编号。假设编号为i的结点是k_i(1≤i≤n)，则有：
　　①若i>1，则k_i的双亲编号为  ；若i=1，则K_i是根结点，无双亲。
　　②若2i≤n，则K_i的左孩子的编号是2i；否则，K_i无左孩子，即K_i必定是叶子。因此完全二叉树中编号  的结点必定是叶结点。

　　③若2i+1≤n，则K_i的右孩子的编号是2i+1；否则，K_i无右孩子。
　　④若i为奇数且不为1，则K_i的左兄弟的编号是i-1；否则，K_i无左兄弟。
　　⑤若i为偶数且小于n，则K_i的右兄弟的编号是i+1；否则，K_i无右兄弟。

 

 

2．完全二叉树的顺序存储
    　将完全二叉树中所有结点按编号顺序依次存储在一个向量bt[0..n]中。
  其中：
    bt[1．．n]用来存储结点
    bt[0]不用或用来存储结点数目。
　【例】表6.1是图6.8所示的完全二叉树的顺序存储结构，bt[0]为结点数目，b[7]的双亲、左右孩子分别是bt[3]、bt[l4]和bt[15]。
  

3．一般二叉树的顺序存储
（1） 具体方法
　　① 将一般二叉树添上一些 "虚结点"，成为"完全二叉树"
　　② 为了用结点在向量中的相对位置来表示结点之间的逻辑关系，按完全二叉树形式给结点编号
　　③ 将结点按编号存入向量对应分量，其中"虚结点"用"∮"表示

 

【例】图6-9中单支树的顺序存储结构如下图
        

（2） 优点和缺点
　　① 对完全二叉树而言，顺序存储结构既简单又节省存储空间。
　　② 一般的二叉树采用顺序存储结构时，虽然简单，但易造成存储空间的浪费。
  　　【例】最坏的情况下，一个深度为k且只有k个结点的右单支树需要2k-1个结点的存储空间。
　　③在对顺序存储的二叉树做插入和删除结点操作时，要大量移动结点。

 

 链式存储结构

 

1．结点的结构
    　二叉树的每个结点最多有两个孩子。用链接方式存储二叉树时，每个结点除了存储结点本身的数据外，还应设置两个指针域lchild和rchild，分别指向该结点的左孩子和右孩子。结点的结构为：
          

2．结点的类型说明
    typedef char DataType； //用户可根据具体应用定义DataType的实际类型 
    typedef struct node{
          DataType data； 
          Struct node *lchild，*rchild； //左右孩子指针
      }BinTNode； //结点类型
    typedef BinTNode *BinTree；//BinTree为指向BinTNode类型结点的指针类型

 

3．二叉链表（二叉树的常用链式存储结构）
    　在一棵二叉树中，所有类型为BinTNode的结点，再加上一个指向开始结点(即根结点)的BinTree型头指针(即根指针)root，就构成了二叉树的链式存储结构，并将其称为二叉链表。
  【例】下面左图所示二叉树的二叉链表如下面中图所示。 
     
  注意：
    　① 一个二叉链表由根指针root惟一确定。若二叉树为空，则root=NULL；若结点的某个孩子不存在，则相应的指针为空。
    　② 具有n个结点的二叉链表中，共有2n个指针域。其中只有n-1个用来指示结点的左、右孩子，其余的n+1个指针域为空。

4．带双亲指针的二叉链表
    　经常要在二叉树中寻找某结点的双亲时，可在每个结点上再加一个指向其双亲的指针parent，形成一个带双亲指针的二叉链表。

 

 

 编历二叉树 

 

一、前序遍历
所谓前序遍历，就是根结点最先遍历，其次左子树，最后右子树。

1．递归遍历

前序遍历二叉树的递归遍历算法描述为：
若二叉树为空，则算法结束;否则
（1）访问根结点；
（2）前序遍历左子树;
（3）前序遍历右子树;

 
例如，可以利用上面介绍的遍历算法，写出上图所示二叉树的前序遍历序列为：ABDEGHICF

算法如下:
void preorder(NODE *p)
{
if(p!=NULL)
{printf(“%d ”,p->data);
preorder(p->lchild);
preorder (p->rchild);}
}

 

2．三种遍历的命名
    　根据访问结点操作发生位置命名：
　　① NLR：前序遍历(PreorderTraversal亦称(先序遍历))
         ——访问结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
　　② LNR：中序遍历(InorderTraversal)
        ——访问结点的操作发生在遍历其左右子树之中(间)。
 　　③ LRN：后序遍历(PostorderTraversal)
        ——访问结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

 

遍历算法

1．中序遍历的递归算法定义：
    　若二叉树非空，则依次执行如下操作：
         (1)遍历左子树；
         (2)访问根结点；
         (3)遍历右子树。

2．先序遍历的递归算法定义：
   　若二叉树非空，则依次执行如下操作：
         (1) 访问根结点；
         (2) 遍历左子树；
         (3) 遍历右子树。

3．后序遍历得递归算法定义：
   　若二叉树非空，则依次执行如下操作：
         (1)遍历左子树；
         (2)遍历右子树；
         (3)访问根结点。

4．中序遍历的算法实现
    　用二叉链表做为存储结构，中序遍历算法可描述为：
      void InOrder(BinTree T)
        { //算法里①~⑥是为了说明执行过程加入的标号
          ① if(T) { // 如果二叉树非空
          ②    InOrder(T->lchild)；
          ③    printf("％c"，T->data)； // 访问结点
          ④    InOrder(T->rchild);
          ⑤  }
          ⑥ } // InOrder

 

 

遍历序列

1．遍历二叉树的执行踪迹
    　三种递归遍历算法的搜索路线相同（如下图虚线所示）。 
具体线路为：
    　从根结点出发，逆时针沿着二叉树外缘移动，对每个结点均途径三次，最后回到根结点。
       

2．遍历序列
（1） 中序序列
    中序遍历二叉树时，对结点的访问次序为中序序列
　【例】中序遍历上图所示的二叉树时，得到的中序序列为：
                D B A E C F

 

2） 先序序列
    先序遍历二叉树时，对结点的访问次序为先序序列
    【例】先序遍历上图所示的二叉树时，得到的先序序列为：
                A B D C E F
（3） 后序序列
    　后序遍历二叉树时，对结点的访问次序为后序序列
　【例】后序遍历上图所示的二叉树时，得到的后序序列为：
                D B E F C A

 

注意：
　　（1） 在搜索路线中，若访问结点均是第一次经过结点时进行的，则是前序遍历；若访问结点均是在第二次(或第三次)经过结点时进行的，则是中序遍历(或后序遍历)。只要将搜索路线上所有在第一次、第二次和第三次经过的结点分别列表，即可分别得到该二叉树的前序序列、中序序列和后序序列。

 

层次编历二叉树
算法思想：利用队列基本操作
1.初始化：根结点入队列
2.while(队列非空)
{
a.队首元素出队列
b.原队首元素对应的左、右孩子(非空)入队列
}
按出队列元素的先后顺序排列即为层次遍历的结果

 

 树和森林的遍历

 

树的遍历

    　设树T如下图所示，结点R是根，根的子树从左到右依次为T₁，T₂，…，T_k。
       
1．树T的前序遍历定义： 
　　若树T非空，则：
　①访问根结点R；
  ②依次前序遍历根R的各子树T₁，T₂，…，T_k。

2．树的后序遍历定义：
　　若树T非空，则：
    ①依次后序遍历根T的各子树T_l，T₂，…，T_k；
    ②访问根结点R。

【例】对下面的(a)图中的树进行前序遍历和后序遍历，得到的前序序列和后序序列分别是ABCDE和BDCEA。
       
  注意：
    　① 前序遍历一棵树恰好等价于前序遍历该树对应的二叉树
    　② 后序遍历树恰好等价于中序遍历该树对应的二叉树。

森林的两种遍历方法

1．前序遍历森林
    若森林非空，则：
①访问森林中第一棵树的根结点；
②前序遍历第一棵树中根结点的各子树所构成的森林
③前序遍历除第一棵树外其它树构成的森林。

2．后序遍历森林
　　若森林非空，则:
①后序遍历森林中第一棵树的根结点的各子树所构成的森林；
②访问第一棵树的根结点；
③后序遍历除第一棵树外其它树构成的森林。
  注意：
　    ① 前序遍历森林等同于前序遍历该森林对应的二叉树
    　② 后序遍历森林等同于中序遍历该森林对应的二叉树
【例】对下面(a)图中所示的森林进行前序遍历和后序遍历，则得到该森林的前序序列和后序序列分别为ABCDEFICJH和BDCAIFJGHE。而(b)图所示二叉树的前序序列和中序序列也分别为ABCDEFICJH和BDCAIFJGHE。
   
    　③ 当用二叉链表作树和森林的存储结构时，树和森林的前序遍历和后遍历，可用二叉树的前序遍历和中序遍历算法来实现。