使用Matrix-tree与它的行列式来解决生成树计数问题
我又把Matrix写错啦
这东西讲课的时候竟然一笔带过了，淦
好吧这东西我不会证
那我们来愉快的看结论吧
啦啦啦
预备工作
你有一个 $ n $ 个点的图
比如说
5
/|\
/ | \
2--1--3
\ |
\|
4
现在造一个$ n \times n $的矩阵
我们把他叫做$ D $
$ D $的元素有这样的一个规律：
对于某一个$ D_{i,j} $，如果 $ i = j $ ，它就等于点 $ i $ 的度数，否则就为 $ 0 $
那么我们可以yy出D的样子
\[ D=\left[
\begin{matrix}
4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\
\end{matrix}
\right]
\]
除此之外我们还需要一个矩阵$ A $
就是邻接矩阵，直接拿来用就可以了
\[ A=\left[
\begin{matrix}
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
\end{matrix}
\right]
\]
Now I have a D
I have an A
Ah~
$ D - A $!
\[ D-A=\left[
\begin{matrix}
4 & -1 & -1 & -1 & -1 \\
-1 & 2 & 0 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 3 & -1 & -1 \\
-1 & 0 & -1 & 2 & 0 \\
-1 & -1 & -1 & 0 & 3 \\
\end{matrix}
\right]
\]
依照数学的一贯尿性习惯
我们把$ D - A $起个名字吧
叫做鸡儿hop夫基尔霍夫Kirchhoff矩阵K，$ K = D - A $
关于行列式
对于一个无向图 G ，它的生成树个数等于其基尔霍夫Kirchhoff矩阵任何一个N-1阶主子式的行列式的绝对值
上面那个是真-结论
你问我什么是行列式？
我们本来写矩阵不是
\[ K=\left[
\begin{matrix}
4 & -1 & -1 & -1 & -1 \\
-1 & 2 & 0 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 3 & -1 & -1 \\
-1 & 0 & -1 & 2 & 0 \\
-1 & -1 & -1 & 0 & 3 \\
\end{matrix}
\right]
\]
的么
我们把$ [ ] $换成 $ | | $ 就好了
（这可能不符合数学的严谨性）
（只在矩阵$ n = m $时有效）
\[ K=\left|
\begin{matrix}
4 & -1 & -1 & -1 & -1 \\
-1 & 2 & 0 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 3 & -1 & -1 \\
-1 & 0 & -1 & 2 & 0 \\
-1 & -1 & -1 & 0 & 3 \\
\end{matrix}
\right|
\]
你问我什么是$ x $阶主子式？
就在 $ [1,n] $ 里面随便选个数 $ p $ ，选 $ (n-x) $ 次，把行列式里面的第 $ p $ 行和第 $ p $ 列同时删掉就好了
比如 $ K $ 的某个 $ n - 1 $ 阶主子式长这样：
\[ tmp=\left|
\begin{matrix}
4 & -1 & -1 & -1 \\
-1 & 2 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 3 & -1 \\
-1 & 0 & -1 & 2 \\
\end{matrix}
\right|
\]
行列式求值的问题
行列式的值记为$ det(A) $
方法你们都看过了
就是
- 枚举 $ [1,n] $ 的所有排列，把它叫做 $ b $
- 把 $ b $ 的逆序对数量求出来叫做 $ r $
- 然后 $ det(A) = \sum (-1)^{r}\times A_{1,b_{1}}\times A_{2,b_{2}}\times ... \times A_{n,b_{n}} $
不过这样的复杂度肯定非常高
但我们有一种更好的方法
我们可以利用行列式的这些性质：
- 行列式 $ A $ 中某行/列用同一数 $ k $ 乘，其det结果等于 $ kA $
- 行列式 $ A $ 的det等于其转置行列式 $ A^T $ 的( $ A^T $ 的第i行为 $ A $ 的第i列)
- 行列式 $ A $ 中两行/列互换,其det会变成原来的相反数。
- 把行列式 $ A $ 的某行/列中各个数同乘一数后加到另一行/列中各对应数上，结果不会变
- 行列式中某行/列有公因子，这个公因子可以提到行列式外面去
来把行列式变成上三角行列式（其实下三角也一样）
至于怎么用我们亲爱的C++来写这东西
实现起来就是这个样子（*内部写了取模）
typedef long long lint;
const int _ = 202;
lint deter(lint a[_][_],int n,lint mo)
{
register int i,j,k;
register lint tmp,ans=1;
for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)a[i][j]%=mo;
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=i+1;j<=n;j++)
{
while(a[j][i]!=0)
{
tmp=a[i][i]/a[j][i];
for(k=1;k<=n;k++)a[i][k]=(a[i][k]-a[j][k]*tmp+mo)%mo;
swap(a[i],a[j]),ans=-ans;
}
}
ans=(ans*a[i][i]+mo)%mo;
if(ans==0)return 0;
}
return (ans+mo)%mo;
}
