CMOS模拟集成电路笔记 | 第五部分 | Chapter 8

CMOS模拟集成电路笔记 | 第五部分 | Chapter 8

第八章 反馈

8.1 概述

传输函数：

$$\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{H\left( s \right)}{1+G\left( s \right) H\left( s \right)} \\ \text{其中H}\left( \mathrm{s} \right) \text{为开环增益，G}\left( \mathrm{s} \right) \mathrm{H}\left( \mathrm{s} \right) \text{为环路增益}$$

1. 因为H(s)很大，而输出有限，所以输⼊端很小（虚短）；
2. 环路增益G(s)H(s)⽆量纲

2. 负反馈⽀路检测输出电压，⽬的是稳定输出电压，减⼩输出阻抗（$R=\frac{\Delta V}{\Delta I}$，稳定输出电压表示 $\Delta V$，$R=0$）；负反馈⽀路检测输出电流，⽬的是稳定输出电流，增⼤输出阻抗；

8.1.1 反馈电路的特性

1. 增益灵敏度降低，稳定增益

   • 例子

     

     图 a 开环增益为：$A_V = -g_m r_{o1}$

     增益会随温度和工艺变化

     图 b 闭环增益为：$\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}=-\frac{1}{\left( 1+\frac{1}{g_{m1}r_{\mathrm{o}1}} \right) \frac{C_2}{C_1}+\frac{1}{g_{\mathrm{m}1}r_{\mathrm{o}1}}}\approx -\frac{\mathrm{C}_1}{\mathrm{C}_2}\,\, \text{（g}_{\mathrm{m}}\mathrm{r}_{\mathrm{o}1}\text{很大的情况下得到）}$

     电容材料相同可以免除温度影响

   • 对于更一般的情形：

     
     $$\frac{Y}{X}=\frac{A}{1+\beta A}\approx \frac{1}{\beta}\left( 1-\frac{1}{\beta A} \right) \approx \frac{1}{\beta}\text{（在}\beta \mathrm{A}\gg 1\text{的情况下）}$$

     称$\beta$ 为反馈系数，与 A 量纲互补

   • 求环路增益（$\beta A$）

     
     
     ⽅法：将输⼊置零（ac），从输出断开反馈环路，添加⼀个测试信号V_t，得到信号经过环路回到断点出的电压 V_F，导出的传输函数（V_F/V_t）的负值是环路增益。

2. 终端阻抗变化

   • 输入阻抗

     

     (b) 图有开环输入阻抗为：$R_{\mathrm{in}, \text { open }}=\frac{1}{g_{\mathrm{ml}}+g_{\mathrm{mbl}}}$

     (c) 图有闭环时输入阻抗为：

     $$R_{\mathrm{in},\mathrm{closed}}=V_X/I_X=\frac{1}{g_{m1}+g_{mb1}}\frac{1}{1+g_{m2}R_D\frac{C_1}{C_1+C_2}} \\ \text{（其中} g_{m2}R_D\frac{C_1}{C_1+C_2}\,\,\text{为环路增益）}$$

     此图(c) 反馈量为电流，因此为电流负反馈，求环路增益时应将输入电流I_in 置零，而不是 $V_{in} = 0$.

   • 输出阻抗

     

     (a) 图中断开反馈环路，开环输出阻抗为R_D

     (b) 图得到闭环输出阻抗为：

     $$\frac{V_X}{I_X}=\frac{R_D}{1+\frac{g_{m2}R_S\left( g_{m1}+g_{mb1} \right) R_D}{\left( g_{m1}+g_{mb1} \right) R_S+1}\frac{C_1}{C_1+C_2}} \\ \text{（其中}\frac{g_{m2}R_S\left( g_{m1}+g_{mb1} \right) R_D}{\left( g_{m1}+g_{mb1} \right) R_S+1}\frac{C_1}{C_1+C_2}\text{为环路增益）}$$

3. 带宽变化

   $$\begin{aligned} &\text{（单极点系统）考虑频率时的开环增益：}A(s)=\frac{A_0}{1+\frac{s}{\omega _0}}\\ &\text{考虑频率时的闭环增益：}\frac{Y}{X}(s)=\frac{\frac{A_0}{1+\frac{s}{\omega _0}}}{1+\beta \frac{A_0}{1+\frac{s}{\omega _0}}}=\frac{A_0}{1+\beta A_0+\frac{s}{\omega _0}}=\frac{\frac{A_0}{1+\beta A_0}}{1+\frac{s}{\left( 1+\beta A_0 \right) \omega _0}}\\ \\ &\text{（其中}\frac{A_0}{1+\beta A_0}\text{为低频闭环增益）} \end{aligned}$$

   考虑频率时的闭环增益相⽐低频闭环增益：增益减⼩的倍数等于 -3dB 带宽拓宽的倍数（均为 $(1+\beta A_0)$倍）；所得到的（闭环+考虑频率时的）增益带宽积不变.

4. 非线性减小

8.1.2 放大器的种类

输⼊信号：1️⃣为电压，输⼊阻抗与端⼝并联；2️⃣为电流，输⼊阻抗与端⼝串联；

输出信号：1️⃣为电压，输出阻抗与端⼝串联；2️⃣为电流，输出阻抗与端⼝并联。

补充知识：（解释上面☝️）

1. 非理性电压源可等效为：理想电压源和⾃身内阻串联

   

   负载R_in 的变化会影响非理想电压源输出电压$V'$

   $$V'=V\frac{R_{in}}{R_s+R_{in}}$$

   为什么不能等效为理想电压源和电阻并联呢？

   

   $V' = V$，负载 R_in 对非理想电压源输出电压 $V'$ 无影响

2. 非理想电流源可等效为：理想电流源和自身内阻并联

   

   负载 R_in 的变化会影响非理想电流源输出电流 $I'$

   $$I'=I\frac{R_S}{R_S+R_{in}}$$

   为什么不能等效为理想电压源和电阻并联呢？

   

   $I'=I$，负载 R_in 对非理想电流源输出电流 $I'$ 无影响

3. 开始正式解释

   （Part 1）

   

   1️⃣ 输入信号为电压，输⼊阻抗与输⼊端⼝并联？

   2️⃣ 输出信号为电压，输出阻抗与端⼝串联？

   求解：

   • 1️⃣ 非理想电压源 V_in ⽤理想电压源 V_in,ideal 和内阻 R_s 表示出来

     

   • 2️⃣ 输出信号为电压，则把经过放⼤器放大所得到的电压（如 $A_V \cdot V_{in}$）看成理想电压源

     

   （Part 2）

   

   3️⃣ 输⼊信号为电流，输⼊阻抗和输⼊端⼝串联？

   4️⃣ 输出信号为电流，输出阻抗和输出端⼝并联?

   求解：

   • 3️⃣ ⾮理想电流源 I_in ⽤理想电流源 I_in,ideal 和内阻 R_s 表示出来

     

   • 4️⃣ 把经过放⼤器放⼤所得到的电流（如 $A_o \cdot I_{in}$）看成理想电流源

     

8.1.3 检测和返回机制

1. 反馈和输⼊信号在电路不同2输⼊点，属于XX电压负反馈；

   反馈和输⼊信号在电路同⼀输⼊点，属于XX电流负反馈；

2. 负反馈⽹络的输⼊输出阻抗特点：

   • 检测电压信号（相当于输入信号为电压）——高输入阻抗

     

     因为检测电压是拿电压源并联在对应的接⼝，所以电压XX负反馈也叫并联 XX负反馈

     

​

• 检测电流信号（相当于输⼊信号为电流）——低输⼊阻抗

  

  因为检测电流是拿电流源串联对应的接⼝上，所以电流XX负反馈也叫串联 XX负反馈

  

• 产⽣电压信号（相当于输出信号为电压）——低输出阻抗

• 产⽣电流信号（相当于输出信号为电流）——⾼输出阻抗

8.2 反馈结构

8.2.1 电压电压负反馈

1. 基本信息

   • 输出端检测信号类型为电压（并联）反馈，反馈到输⼊端的信号类型为电压（串联）反馈，即并联-串联负反馈；

   • 理想的反馈⽹络输⼊阻抗是$\infty$，输出阻抗为$0$；

     

​
​
​

2. 开环和闭环增益

   $$\begin{aligned} &V_F=\beta V_{\mathrm{out}},\\ &V_e=V_{in}-V_F\\ &V_{\mathrm{out}}=A_0\left( V_{\mathrm{in}}-\beta V_{\mathrm{out}} \right)\\ \end{aligned}\Longrightarrow \quad \frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}=\frac{A_0}{1+\beta A_0} \\ \text{闭环增益为}\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}\text{，开环增益为}A_0\text{，环路增益为}\beta A_0$$

3. 开环和闭环输出阻抗

   

   开环结构中，输出阻抗是R_out.

   闭环结构中，求输出阻抗：

   

$$\begin{aligned} &V_F=\beta V_X,V_e=-\beta V_X,V_M=-\beta A_0V_X\\ &I_X=\left[ V_X-\left( -\beta A_0V_X \right) \right] /R_{\mathrm{out}}\\ &\Longrightarrow \frac{V_X}{I_X}=\frac{R_{\mathrm{out}}}{1+\beta A_0}\\ \end{aligned}$$

⼩结：

输出电压反馈具有稳定电压的作⽤，因此闭环输出阻抗变⼩；

或者由闭环增益表达式可以看出，负载电阻 R_L 的变化不会引起输出电压的变化，可以把输出电压看出电压源，具有低阻抗特性。

4. 开环和闭环输入阻抗

   

   开环输入阻抗为$R_{in}$

   求闭环输入阻抗：

   

   （直观上）前馈放⼤器的输⼊阻抗 R_in 只承受了输⼊电压 V_in 的⼀部分，得到：$I_{in}=\frac{V_e}{R_{in}}=\frac{V_{in}-V_F}{R_{in}}\text{（}I_{in}\text{相对于开环减小）}$.

   $\text{（}R_{in}'=\frac{V_{in}}{I_{in}}\text{）}$ （$R_{in}'$ ⬆️，$I_{in}$ ⬇️ ）

   证明：

   

$$\begin{aligned} \mathrm{V}_e=\mathrm{V}_X-\mathrm{V}_F=\mathrm{V}_X-\beta \mathrm{A}_0I_XR_{in} \\ \text{即}I_XR_{in}=\mathrm{Vx}-\beta \mathrm{A}_0I_XR_{in} \\ \\ \text{闭环输入阻抗}\frac{V_X}{I_X}=R_{in}\left( 1+\beta A_o \right) \end{aligned}$$

⼩结：电压-电压（V-V）负反馈增⼤闭环输⼊阻抗

5. 作用与总结

   • 1️⃣ 闭环和开环增益的关系：

     $$A_{\mathrm{closed}}=\frac{A_{v_0}}{1+\,\,\mathrm{loop} \_ \mathrm{pain}}$$

   • 2️⃣ 闭环和开环输⼊阻抗的关系：

     $$R_{in,closed}=R_{in}\times \left( 1+\mathrm{loop}\_\mathrm{gain} \right)$$

   • 3️⃣ 闭环和开环输出阻抗的关系：

     $$R_{out,closed}=\frac{R_{out}}{1+\mathrm{loop}\_\mathrm{gain}}$$

   • 4️⃣ 作用

     V-V 负反馈减⼩了输出阻抗，增⼤了输⼊阻抗，相当于在⾼阻抗源（对应增⼤了输⼊阻抗）和低阻抗负载（对应减⼩了输出阻抗）之间的 buffer

8.2.2 电流-电压负反馈

1. 基本信息

   • 1️⃣ 输出端检测信号类型为电流（串联）反馈，反馈到输⼊端的信号类型为电压（串联）反馈，即串联-串联负反馈；
   • 2️⃣ 理想的反馈⽹络输⼊阻抗是0，输出阻抗为0；
   

2. 开环和闭环增益

   $$\begin{aligned} &\mathrm{V}_{\mathrm{F}}=\mathrm{R}_{\mathrm{F}}\cdot \,\,\mathrm{I}_{\mathrm{out}}\,\,\\ &\mathrm{V}_{\mathrm{e}}=\mathrm{V}_{\mathrm{in}}-\mathrm{R}_{\mathrm{F}}\cdot \mathrm{I}_{\mathrm{out}}\,\,\\ &\,\,\mathrm{I}_{\mathrm{out}}\,\,=\mathrm{G}_{\mathrm{m}}\mathrm{V}_{\mathrm{e}}=\mathrm{G}_{\mathrm{m}}\left( \mathrm{V}_{\mathrm{in}}-\mathrm{R}_{\mathrm{F}}\cdot \mathrm{Iout} \right)\\ \\ &\Rightarrow \quad \frac{I_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}=\frac{G_m}{1+G_mR_F}\\ \text{（其中}G_m\text{为开环增益（电导），}G_mR_F\text{为环路增益）}\\ \end{aligned}$$

3. 开环和闭环输出阻抗

   

   开环输出阻抗为：R_out

   闭环输出阻抗为：

$$\begin{aligned} &\mathrm{V}_{\mathrm{F}}=\mathrm{R}_{\mathrm{F}}\cdot \mathrm{I}_{\mathrm{X}}\\ &-\mathrm{R}_{\mathrm{F}}\cdot \mathrm{I}_{\mathrm{X}}\cdot \mathrm{G}_{\mathrm{m}}=\mathrm{I}_{\mathrm{X}}-\mathrm{V}_{\mathrm{X}}/\mathrm{R}_{\mathrm{out}}\quad\\ \\ &\Rightarrow \quad \frac{V_X}{I_X}=R_{out}\left( 1+G_mR_F \right)\\ \end{aligned}$$

⼩结：

检测输出电流即稳定输出电流，负载电阻 R_L 的变化对输出电流影响较⼩，即输出近似为⼀个理想的电流源，所以输出阻抗⾼。

4. 开环和闭环输⼊阻抗

   

   开环输⼊阻抗：R_in

   闭环输⼊阻抗：

$$\begin{aligned} &\mathrm{G}_{\mathrm{m}}\cdot \mathrm{I}_{\mathrm{X}}\cdot \mathrm{R}_{\mathrm{in}}=\mathrm{I}_{\mathrm{out}},\mathrm{V}_{\mathrm{e}}/\mathrm{I}_{\mathrm{X}}=\mathrm{R}_{\mathrm{in}}\quad (\text{设} \mathrm{G}_{\mathrm{m}}\text{理想} )\\ &\mathrm{V}_{\mathrm{e}}=\mathrm{V}_{\mathrm{X}}-\mathrm{R}_F\cdot \mathrm{I}_{\mathrm{out}}=\mathrm{V}_{\mathrm{X}}-\mathrm{R}\cdot \mathrm{G}_m\cdot \mathrm{I}_{\mathrm{X}}\cdot \mathrm{R}_{\mathrm{in}}=\mathrm{I}_X\mathrm{R}_{\mathrm{in}}\\ &\qquad \Longrightarrow \,\,\text{闭环输入阻抗}: \frac{V_X}{I_X}=R_{\mathrm{in}}\left( 1+G_mR_F \right. \,\,)\\ \end{aligned}$$

5. 总结

   I-V负反馈减⼩了增益，增⼤了输⼊和输出阻抗。

8.2.3 电压-电流负反馈

1. 基本信息

   • 1️⃣ 输出端检测信号类型为电压（并联）反馈，反馈到输⼊端的信号类型为电流（并联）反馈，即并联-并联负反馈；
   • 2️⃣ 理想的反馈⽹络输⼊阻抗是$\infty$，输出阻抗为$\infty$；
   

2. 开环和闭环增益

   $$\begin{aligned} &V_{\mathrm{out}}=R_0I_e=R_0\left( I_{\mathrm{in}}-g_{mF}V_{\mathrm{out}} \right) \\ &\Longrightarrow \frac{V_{out}}{I_{in}}=\frac{R_0}{1+g_{mF}R_0} \\ &\text{（其中}R_0\text{为开环增益（电阻），}g_{mF}R_0\text{为闭环增益）} \end{aligned}$$

3. 开环和闭环输出阻抗

   
   $$\begin{aligned} &I_F=V_Xg_{mF}\\ &I_e=-I_F\\ &V_M=-R_0g_{mF}V_X\\ \\ &I_X=\left( V_X-V_M \right) /R_{\mathrm{out}}=\left( V_X+g_{mF}R_0V_X \right) /R_{\mathrm{out}}.\\ \end{aligned} \\ $$
   $$\text{闭环输出阻抗：}\frac{V_X}{I_X}=\frac{R_{\mathrm{out}}}{1+g_{mF}R_0}$$

4. 开环和闭环输⼊阻抗

   

   求输入阻抗：

   $$\mathrm{IF}=\mathrm{IX}-\mathrm{VX}/\mathrm{Rin} \\ \mathrm{gmF}_{\mathrm{mF}}(\mathrm{VX}/\mathrm{Rin)R}0=\mathrm{IF} \\ \\ \Rightarrow \frac{V_X}{I_X}=\frac{R_{in}}{1+g_{mF}R_0} \\ \text{（闭环输入阻抗减小）}$$

5. 总结

   电压-电流负反馈（V-I 负反馈）减⼩增益，减⼩输⼊、输出阻抗。

8.2.4 电流-电流负反馈（写的⽐较简单）

闭环电流增益：$\mathrm{A_I}/(1+\beta \mathrm{A_I)}$

输入阻抗除以：$1+\beta \mathrm{A_I}$.（减小）

输出阻抗乘以：$1+\beta \mathrm{A_I}$.（增大）

8.3 反馈对噪声的影响

在反馈⽹络⽆噪声的条件下，闭环电路的输⼊噪声电压仍为 V_n = 开环电路输⼊参考噪声电压

8.4 反馈分析的困难

1. 先前反馈电路的分析⽅法：

   • 1️⃣ 断开环路，得到开环增益、输⼊和输出阻抗；

   • 2️⃣ 得到环路增益（开环概念），确定闭环参数。

2. 困难1: 难以断开反馈信号，反馈⽀路有信号电流；

   

   （加载效应）

   在求开环增益的时候，因为反馈回路的输⼊阻抗并⾮⽆穷⼤，所以反馈回路在输出端抽取电流，同时开环输出阻抗未改变，使得实际开环增益 相⽐ ⽤以前的⽅法计算的开环增益较⼩。（电流I减⼩，电阻R不变）。

3. 困难2: 不能明确分解基本放⼤器和反馈⽀路，反馈结构难以归类 （4类规范结构）；

4. 困难3: 反馈是双向电路或多重反馈

8.5 加载效应（重点也是难点）

8.5.1 二端口网络模型

1. Z模型（C-V负反馈）（Z参数量纲均为阻抗）

   
   $$\begin{aligned} &V_1=Z_{11}I_1+Z_{12}I_2\\ &V_2=Z_{21}I_1+Z_{22}I_2\\ \end{aligned}$$
   $$\text{（}Z_{21}\text{量纲为阻抗，反馈类型为检测电流，返回电压（C}-\text{V））}$$

   注：

   1. 下标1表示反馈⽹络输⼊端，下标2表示在反馈⽹络输出端；
   2. 第12项表示反馈⽹络的前通作⽤（不了解），⼀般⽆放⼤作⽤且输⼊信号⼩，与前馈⽹络输出信号相⽐可忽略， 第21项表示反馈，其他是⾮理想参数，理想值为0；
   3. ⽹络模型的选取根据第21项量纲决定

2. Y模型（V-C负反馈）（Y参数量纲均为导纳）

   

$$\begin{aligned} &I_1=Y_{11}V_1+Y_{12}V_2\\ &I_2=Y_{21}V_1+Y_{22}V_2\\ \end{aligned}$$

$$\text{（}Y_{21}\text{量纲为阻抗，反馈类型为检测电压，返回电流（V}-\text{C））}$$

3. H模型（C-C负反馈）

   

$$\begin{aligned} &V_1=H_{11}I_1+H_{12}V_2\\ &I_2=H_{21}I_1+H_{22}V_2\\ \end{aligned} \\ $$

$$\text{（其中}H_{11}\text{为阻抗，}H_{22}\text{为导纳，} \\ H_{21}\text{无量纲，反馈类型为检测电流，返回电流（C}-\text{C））}$$

4. G模型（V-V 负反馈）

   
   $$\begin{aligned} &I_1=G_{11}V_1+G_{12}I_2\\ &V_2=G_{21}V_1+G_{22}I_2\\ \end{aligned} \\ \text{（其中}G_{11}\text{为导纳，}G_{22}\text{为阻抗，} \\ $$
   $$G_{21}\text{无量纲，反馈类型为检测电压，返回电压（V}-\text{V））}$$

8.5.2 电压-电压反馈中的加载

1. 计算（闭环）增益、输⼊阻抗、输出阻抗

   

   忽略G₁₂, g₁₂ 得到：

   

$$\text{输入侧}:\quad V_{\mathrm{in}}=V_e+g_{22}\frac{V_e}{Z_{\mathrm{in}}}+g_{21}V_{\mathrm{out}} \\ \text{输出侧：}g_{11}V_{\mathrm{out}}+\frac{V_{\mathrm{out}}-A_0V_e}{Z_{\mathrm{out}}}=0$$

$$\begin{aligned} &\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}=\frac{A_0}{\left( 1+\frac{g_{22}}{Z_{\mathrm{in}}} \right) \left( 1+g_{11}Z_{\mathrm{out}} \right) +g_{21}A_0}\\ &=\frac{\frac{A_0}{\left( 1+\frac{g_{22}}{Z_{in}} \right) \left( 1+g_{11}Z_{out} \right)}}{1+g_{21}\frac{A_0}{\left( 1+\frac{g_{22}}{Z_{in}} \right) \left( 1+g_{11}Z_{out} \right)}}\\ &=\frac{A_{v, \mathrm{open}}}{\left( 1+\beta A_{v,open} \right)}\\ \end{aligned}$$

$$\text{（其中}A_{v,open}\text{为}\frac{A_0}{\left( 1+\frac{g_{22}}{Z_{in}} \right) \left( 1+g_{11}Z_{out} \right)}\text{，环路增益为}g_{21}\frac{A_0}{\left( 1+\frac{g_{22}}{Z_{in}} \right) \left( 1+g_{11}Z_{out} \right)}\text{）}\\ $$

把开环增益拿出来分析：

$$A_{v, \mathrm{open}}=\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{A_0}{\left( 1+\frac{g_{22}}{Z_{in}} \right) \left( 1+g_{11}Z_{out} \right)} \\ =\frac{Z_{\mathrm{in}}\times A_0\times \frac{1}{g_{11}}}{\left( Z_{\mathrm{in}}+g_{22} \right) \left( \frac{1}{g_{11}}+Z_{\mathrm{out}} \right)} \\ \text{（}\frac{Z_{in}}{\left( Z_{\mathrm{in}}+g_{22} \right)}\text{和}\frac{\frac{1}{g_{11}}}{\left( \frac{1}{g_{11}}+Z_{\mathrm{out}} \right)}\text{为两个分压比公式）} \\ \text{即可看成}V_{out}=\underset{V_e}{\underbrace{V_{in}\frac{Z_{in}}{Z_{in}+g_{22}}}}\cdot A_0\cdot \frac{\frac{1}{g_{11}}}{\frac{1}{g_{11}}+Z_{out}}$$

由此得到包含反馈支路加载作用的前馈放大器：

g₁₁、g₂₂ 表示反馈回路对基本放⼤器的负载作⽤，使得基本放⼤器的输⼊和输出信号减⼩

如何求 g₁₁, g₂₂ ：

$$\begin{aligned} &g_{11}=\left. \frac{I_1}{V_1} \right|_{I2=0}\text{（把}I_2=0\text{，从输入端口看进去）}\\ &g_{22}=\left. \frac{V_2}{I_2} \right|_{V1=0}\text{（把}V_1=0\text{，从输出端口看进去）}\\ \end{aligned}$$

计算闭环输入输出阻抗：

$$Z_{\mathrm{in}, \mathrm{closed}}=\underset{Z_{in,open}}{\underbrace{\left( Z_{\mathrm{in}}+G_{22} \right) }}\left( 1+A_{v,open}G_{21} \right) \\ Z_{\mathrm{out},\mathrm{closed}}=\frac{Z_{\mathrm{out}}||G_{11}^{-1}}{1+A_{V, \mathrm{open}}G_{21}}\,\, \text{（其中}Z_{\mathrm{out}}||G_{11}^{-1}\text{为}Z_{in,popen}\text{）}$$

2. 课本例题8.12（呜呜⼀般不做例题的笔记，这章看得不是很顺所以来做⼀下）

   

   • 1️⃣ 考虑使⽤的⼆端⼝⽹络模型类型，考虑加载效应对前提下断开反馈⽹络

     电压-电压负反馈对应G模型，确定构建图 (b) 的开环电路（令$I_1=0$ 和 $V_1=0$）

   • 2️⃣ 求得开环增益（此开环增益包含加载效应）

     $$A_{\mathrm{v}.\mathrm{open}}=\frac{V_{\mathrm{Y}}}{V_{\mathrm{in}}}=\frac{-R_{D1}}{R_{\mathrm{F}}\parallel R_{\mathrm{s}}+1/g_{\mathrm{m}1}}\left\{ -g_{\mathrm{m}2}\left[ R_{D2}\parallel \left( R_{\mathrm{F}}+R_{\mathrm{S}} \right) \right] \right\} \\ \text{（其中}\frac{-R_{D1}}{R_{\mathrm{F}}\parallel R_{\mathrm{s}}+1/g_{\mathrm{m}1}}\text{为}M_1\text{增益，}-g_{\mathrm{m}2}\left[ R_{D2}\parallel \left( R_{\mathrm{F}}+R_{\mathrm{S}} \right) \right] \text{为}M_2\text{增益）}$$

   • 3️⃣ 求闭环增益

     先求环路增益，然后再套公式

     套用1️⃣ 中环路增益公式，得到环路增益为$g_{21}\cdot A_{v,open}$，由G模型公式：

     
     $$\begin{aligned} &I_1=G_{11}V_1+G_{12}I_2\\ &V_2=G_{21}V_1+G_{22}I_2\,\,\\ \end{aligned}$$

   得到：

$$\begin{aligned} &g_{21}=\frac{V_2}{V_1}\mid_{I2=0}^{}=\frac{R_S}{R_F+R_S} \\ &=\frac{V_f}{V_0}\text{（把}I_2=0\text{，可是看反馈回路的输入端）} \\ &\text{可得到闭环增益：}A_{v,closed}=\frac{A_{v,open}}{1+g_{21}A_{v,open}} \end{aligned}$$

8.5.3 电流-电压反馈中的加载

1. 模型选择

   前馈⽹络输⼊电压，输出电流（Y模型）；反馈⽹络检测电流，返回电压（Z模型）。

   $$\begin{matrix}{} V_1=Z_{11}I_1+Z_{12}I_2& I_1=Y_{11}V_1+Y_{12}V_2\\ V_2=Z_{21}I_1+Z_{22}I_2& I_2=Y_{21}V_1+Y_{22}V_2\\ \end{matrix}$$
   

2. 计算闭环跨导$I_{out}/V_{in}$、开环跨导、环路增益

   • 1️⃣ 闭环跨导

     $$\text{闭环输入侧：}V_{in}=V_e+Y_{11}V_ez_{22}+z_{21}I_{\mathrm{out}} \\ \text{闭环输出侧：}-I_{out}z_{11}=\frac{I_{\mathrm{out}}-Y_{21}V_e}{Y_{22}} \\ \\ \Longrightarrow \text{闭环跨导}G_{\mathrm{closed}}=\frac{I_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}=\frac{\frac{Y_{21}}{\left. 1+z_{22}Y_{11} \right) \left( 1+z_{11}Y_{22} \right)}}{1+z_{21}\frac{Y_{21}}{\left( 1+z_{22}Y_{11} \right) \left( 1+z_{11}Y_{22} \right)}} \\ \text{（其中开环增益为}\frac{Y_{21}}{\left. 1+z_{22}Y_{11} \right) \left( 1+z_{11}Y_{22} \right)}\text{，环路增益为}z_{21}\frac{Y_{21}}{\left( 1+z_{22}Y_{11} \right) \left( 1+z_{11}Y_{22} \right)}\text{）} \\ \text{（求反馈系数}z_{21}\text{可由}\frac{V_2}{I_1}\mid_{I2=0}^{}\text{求得）}$$

   • 2️⃣ 开环跨导

     $$G_{\mathrm{m}. \mathrm{open}}=\frac{\boldsymbol{Y}_{21}}{\left( 1+\boldsymbol{z}_{22}\boldsymbol{Y}_{11} \right) \left( 1+\boldsymbol{z}_{11}\boldsymbol{Y}_{22} \right)}=\frac{1/Y_{11}}{1/Y_{11}+Z_{22}}Y_{21}\frac{1/Y_{22}}{1/Y_{22}+z_{11}}$$

     得到有加载效应的开环前馈⽹络：

     

     由于$Z_{22}= V_2/ I_2（I_1= 0的情况下）$和$Z_{11}= V_1/ I_1（I_2= 0的 情况下）$，得到

     

     ​

8.5.5 电流-电流反馈中的加载

1. 模型选择

   前馈⽹络输⼊电流，输出电流（H模型）；反馈⽹络检测电流，返回电流（H模型）。

   $$\text{反馈和前馈网络皆为H模型：} \\ \begin{aligned} &V_1=H_{11}I_1+H_{12}V_2\\ &I_2=H_{21}I_1+H_{22}V_2\\ \end{aligned}$$
   

2. 求闭环增益$I_{out}/ I_{in}$、开环增益、环路系数

   • 1️⃣ 闭环增益

     $$\begin{aligned} I_{\mathrm{in}}&=I_eH_{11}h_{22}+h_{21}I_{\mathrm{out}}+I_e\\ I_{\mathrm{out}}&=-I_{\mathrm{out}}h_{11}H_{22}+H_{21}I_e\\ \end{aligned} \\ $$
     $$\Longrightarrow \text{闭环增益}\frac{I_{\mathrm{out}}}{I_{\mathrm{in}}}=\frac{\frac{H_{21}}{\left( 1+h_{22}H_{11} \right) \left( 1+h_{11}H_{22} \right)}}{1+h_{21}\frac{H_{21}}{\left( 1+h_{22}H_{11} \right) \left( 1+h_{11}H_{22} \right)}} \\ \text{（其中开环增益为}\frac{H_{21}}{\left( 1+h_{22}H_{11} \right) \left( 1+h_{11}H_{22} \right)}\text{，环路增益为}h_{21}\frac{H_{21}}{\left( 1+h_{22}H_{11} \right) \left( 1+h_{11}H_{22} \right)}\text{）}$$

   • 2️⃣ 开环增益

     $$A_{I, \mathrm{open}}=\frac{H_{21}}{\left( 1+h_{22}H_{11} \right) \left( 1+h_{11}H_{22} \right)}=\frac{h_{22}^{-1}}{h_{22}^{-1}+H_{11}}H_{21}\frac{h_{11}^{-1}}{h_{11}^{-1}+H_{22}}$$

     由于$h_{22}= I_2/ V_1（I_1= 0）；h_{11}= V_1/ I_1（V_2=0）$，得到

     

8.5.6 加载效应小结

对具有加载效应的电路，分析可以分三步进⾏：

1. 断开含有完全加载效应的环路，计算开环增益$A_{v,open}$ 和 开环输⼊、输出阻抗；
2. 确定反馈系数$\beta$（例：⽤ Z 模型公式求解Z₂₁），得到环路增益；
3. 将开环的各个值通过⽐例（1+环路增益）的变化，计算闭环增益 和 闭环输⼊、输出阻抗。

——>第⼋章余下部分暂时没有了（⽼师说⽅法太⽼了且分析麻烦作⽤不⼤，故不讲）