杂谈: 线性变换 Linear Transfomation
Abstract
阅读此文的基础是理解“线性”这个概念 -------- 链接
首先从字面意思来理解，变换Transfomation是一个操作或一个过程，更彻底地你可以将它理解为一个函数映射（事实上，我们在之后的讨论中会尽量往“映射”这个角色靠拢），而这个函数是线性的。
考虑一个二维向量空间的例子 --- 缩放
回顾一下向量这个概念，任何一个向量都能以一组基的线性组合来表示：（默认情形下我们认为它们是标准正交基）
- 基底为\(x\)轴正方向的 \(\bf{v_{1}} = \bf{(1, 0)}\) 、\(y\)轴正方向的 \(\bf{v_{2}} = \bf{(0, 1)}\) 。在这组基下取一个向量 \(\bf{i} = \bf{(3, 2)}\) ，它可由 \(3\bf{v_{1}} + 2\bf{v_{2}}\) 表示。
- 考虑向量 \(\bf{(6, 4)}\) ，它由线性变换 \(\left(\begin{array}{cc}2 & 0\\ 0 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\) 得到。但若换个角度：对于由 \(3\bf{v_{1}} + 2\bf{v_{2}}\) 表示的向量 \(\bf{i}\) ，若表示它的标准基被应用线性映射 \(Trans: V \rightarrow W\)后，变为 \(\bf{w_{1}}\) 、 \(\bf{w_{2}}\)，则向量 \(\bf{i}\) 被映射成为由新的一组基 \(\bf{w_{1}}\) 、 \(\bf{w_{2}}\) 构成的向量空间 \(W\) 中的\(\bf{i^{'}}\)，且由新的线性组合 \(3\bf{w_{1}}\) + 2\(\bf{w_{2}}\) 表示。
考虑另一个二维向量空间的例子 --- 旋转
这一次我们关注非单独点进行线性变换的情形：
-
左边是一个由一对基 \(\bf{v_{1}} = \bf{(a, b)}\) 、\(\bf{v_{2}} = \bf{(c, d)}\) 构建的向量空间\(V\)。这对基底相对于标准正交基逆时针旋转了\(\theta\)，并构成了一个正方形。
-
现在将这对基继续往逆时针方向旋转\(\alpha\)角度，变为\(\bf{w_{1}} = \bf{(a', b')}\) 、\(\bf{w_{2}} = \bf{(c', d')}\)。可以看到，正方形上的所有点被一个线性映射投影到了另一个向量空间\(W\)，视觉上的效果便是其绕原点也旋转了\(\alpha\)角度。
-
现在通过这组前后变换的基来计算这个线性映射：
设基底一个分量的模为\(r\)（即旋转半径），易知：
\( \begin{equation} \begin{aligned} \tt{a^{'}} &= \tt{\tt{r \cdot cos(\theta + \alpha)}} \\ &= \tt{r \cdot (cos\theta \cdot cos\alpha - sin\theta \cdot sin\alpha)} \\ &= \tt{(r \cdot cos\theta) \cdot cos\alpha - (r \cdot sin\theta) \cdot sin\alpha} \\ &= \tt{a \cdot cos\alpha - b \cdot sin\alpha} \end{aligned} \end{equation} \)
\( \begin{equation} \begin{aligned} \tt{b^{'}} &= \tt{\tt{r \cdot sin(\theta + \alpha)}} \\ &= \tt{r \cdot (sin\theta \cdot cos\alpha + cos\theta \cdot sin\alpha)} \\ &= \tt{(r \cdot cos\theta) \cdot sin\alpha + (r \cdot sin\theta) \cdot cos\alpha} \\ &= \tt{a \cdot sin\alpha + b \cdot cos\alpha} \end{aligned} \end{equation} \)
也即：\(\left(\begin{array}{c}a^{'}\\ b^{'}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}cos\alpha & -sin\alpha\\ sin\alpha & cos\alpha\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)\)
注意事项
- 在讨论旋转时，我们规定必须绕原点进行旋转；绕非原点旋转的变换不是线性变换，因为其不满足线性的其次性，且这种情况称为仿射变换
考虑一个二维向量空间的综合例子 --- 旋转 + 缩放
现在考虑将原向量空间的一个基单独进行旋转，然后再对新向量空间中的一组基进行缩放（假设缩放倍数为\(n\)），以让我们的例子看起来不是那么单调：
由于我们仅对基\(v2\)进行了旋转，结合我们之前得出的结论，可轻易得到这样的等式：
\(\left(\begin{array}{cc}z_1 \\ z_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}1 & 0\\ sin\theta & cos\theta\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}n & 0\\ 0 & n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}v1 \\ v2\end{array}\right)\)
考虑一个特殊例子 --- 三维坐标系坐标空间转换
目标
将某三维坐标空间中的点集转换到另一个坐标空间中。
需提前了解的细节
考虑一个坐标系，由原点 \(\bf{e}\) 以及一组基 \(\bf{uvw}\) 构成，则坐标 \((\tt{u,v,w})\) 描述一个点
\(\bf{e}+\tt{u}\bf{u}+\tt{v}\bf{v}+\tt{w}\bf{w}\)
思考一下，为什么这里要加上原点e？因为在这里我们表示的是点，点需要考虑位置，而向量只需考虑方向。
在计算机中，这样的坐标系并不是凭空被存储表示的。一般来说，我们会规定一个标准的正规坐标系作为参考系（也即所谓的全局global / 世界world坐标系），之后便可以用该参考系来表示其它类似于上述 \(\bf{uvw}\) 的坐标系。
坐标空间变换
在三维空间中，我们习惯定义一个 \(\bf{xyz}\) 标准正交基为参考系，且通常原点与基向量的坐标分别为：
-
\(\bf{o} = \tt{(0, 0, 0)}\)
-
\(\bf{x} = \tt{(1, 0, 0)}\)
-
\(\bf{y} = \tt{(0, 1, 0)}\)
-
\(\bf{z} = \tt{(0, 0, 1)}\)
假设图中左边的便是 \(\bf{xyz}\) 参考系。观察右上角的坐标系，由原点 \(\bf{e}\) 以及一组标准正交基 \(\bf{uvw}\) 组成。
有一点 \(\tt{P}\) 在 \(\bf{uvw}\) 下的坐标为 \(\tt{(u_p,v_p,w_p)}\)，则在 \(\bf{uvw}\) 系中 \(\tt{P}\) 可表示为线性组合：
\(\tt{P}_{uvw} = \bf{e} + \tt{u_p}\bf{u} + \tt{v_p}\bf{v} + \tt{w_p}\bf{w}\ \ \ (1)\)
我们已经知道，\(\bf{uvw}\) 系的原点与基向量本身是由参考系 \(\bf{xyz}\) 表示的，也即：
-
\(\bf{e} = \tt{(x_e, y_e, z_e)}\)
-
\(\bf{u} = \tt{(x_u, y_u, z_u)}\)
-
\(\bf{v} = \tt{(x_v, y_v, z_v)}\)
-
\(\bf{w} = \tt{(x_w, y_w, z_w)}\)
则 \((1)\) 式可化为：
\( \begin{equation} \begin{aligned} \tt{P}_{xyz} &= \tt{(x_e, y_e, z_e) + u_p(x_u, y_u, z_u) + v_p(x_v, y_v, z_v) + w_p(x_w, y_w, z_w)} \\ &= \tt{ (x_e+u_{p}x_{u}+v_{p}x_{v}+w_{p}x_{w})+(y_e+u_{p}y_{u}+v_{p}y_{v}+w_{p}y_{w})+(z_e+u_{p}z_{u}+v_{p}z_{v}+w_{p}z_{w}) } \end{aligned} \end{equation} \)
有了这些信息，我们已知 \(\tt{P}\) 在 \(\bf{uvw}\) 下的坐标表示，要求其被转换到参考系 \(\bf{xyz}\) 后坐标 \(\tt{(x_p,y_p,z_p)}\) 的具体值，可用矩阵方程来表示：
\(\left[\begin{array}{c}x_p \\ y_p \\ z_p \\ 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc}x_u & x_v & x_w & 0\\ y_u & y_v & y_w & 0 \\ z_u & z_v & z_w & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & x_e\\ 0 & 1 & 0 & y_e \\ 0 & 0 & 1 & z_e \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u_p \\ v_p \\w_p \\ 1\end{array}\right]\)
写得更简单点便是：
\(\tt{P}_{xyz} = \left[\begin{array}{cccc}u & v & w & e\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]\tt{P}_{uvw}\)
我们讨论的是将点集从某个标准正交基 \(\bf{uvw}\) 转换到 参考系 \(\bf{xyz}\)。如果想做一个逆操作：将点集从参考系转换到 \(\bf{uvw}\)，只需将此变换矩阵求逆即可：
\(\tt{P}_{uvw} = \left[\begin{array}{cccc}u & v & w & e\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]^{-1}\tt{P}_{xyz}\)
由于我们规定 \(\bf{uvw}\) 为正交基，由定义知，正交矩阵的转置即为它的逆，所以上式可变为：
\(\left[\begin{array}{c}u_p \\ v_p \\ w_p \\ 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc}x_u & x_v & x_w & 0\\ y_u & y_v & y_w & 0 \\ z_u & z_v & z_w & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]^\mathrm{T}\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & x_e\\ 0 & 1 & 0 & y_e \\ 0 & 0 & 1 & z_e \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]^\mathrm{-1}\left[\begin{array}{c}x_p \\ y_p \\z_p \\ 1\end{array}\right]\)
也即：
\(\left[\begin{array}{c}u_p \\ v_p \\ w_p \\ 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cccc}x_u & y_u & z_u & 0\\ x_v & y_v & z_v & 0 \\ x_w & y_w & z_w & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & -x_e\\ 0 & 1 & 0 & -y_e \\ 0 & 0 & 1 & -z_e \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_p \\ y_p \\z_p \\ 1\end{array}\right]\)
你可能会疑惑，将点集从标准系转换到 \(\bf{uvw}\) 用得着这么复杂吗，我用这个变换矩阵不就行了吗：
\(\tt{P}_{uvw} = \left[\begin{array}{cccc}x & y & z & o\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]\tt{P}_{xyz}\)
回答：是可以，前提是你要额外计算 \(\bf{xyz}\) 基向量在 \(\bf{uvw}\) 中的坐标表示。正如我们推导的上述一系列公式，都是基于 "\(\bf{uvw}\) 系的原点与基向量本身是由参考系 \(\bf{xyz}\) 表示的" 这个大前提，所以还是乖乖求个逆操作吧，也没那么难。
如有不严谨的地方欢迎指出 😃
