杂谈: 线性 Linear

概念

线性Linear，通常被应用于函数；而线性代数中的线性变换本质是一种函数映射，所以两者有较强的关联性。

其最基本的代数意义由两条性质决定：

1. 可加性：若f(x)是线性的，则有 \(f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2)\)。

2. 齐次性（比例性）：若f(x)是线性的，则有 \(f(kx) = kf(x)\)，其中k为常数。

例子

考虑函数 f(x) = ax，验证一下上述两性质：

• \(f(x_1 + x_2) = a(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2)\)，满足可加性。

• \(f(kx) = akx\)，\(kf(x) = akx\)，满足齐次性。

此时称f(x)为线性函数

注意

考虑函数 g(x) = ax + b，上中学时你或许会听到有老师称它为线性函数，但这是不严谨的：

• \(g(x_1 + x_2) = a(x_1 + x_2) + b\)；然而 \(g(x_1) + g(x_2) = a(x_1 + x_2) + 2b\)，不满足可加性。

• \(g(kx) = akx + b\)；然而 \(kg(x) = akx + kb\)，它也不满足齐次性！

由此可知，形如 g(x) = ax + b 的并非线性函数，而是另有其名：仿射函数。

可加性与齐次性的组合便是线性的全部意义：

\(f(k_1x_1 + k_2x_2) = k_1f(x_1) + k_2f(x_2)\)