SPOJ INTSUB - Interesting Subset（数学）

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题意：给定一个集合，该集合由1,2,3....2n组成，n是一个整数。问该集合中有趣子集的数目，答案mod1e9+7。

x的子集合有趣定义为，该子集中至少有两个数，a和b，b是a的倍数且a是集合中最小的元素。

思路：考虑集合中最小的元素a，对于每个a，使得可以构成子集的元素（即b）有beishu = 2 * n / a - 1个，那么这里只考虑这些有2^beishu - 1个。那么还剩下other = 2 * n - beishu - a个比a大的且不是a的倍数的元素，这些元素可以取或者不取，因此有2^other种。两个相乘即可以得到最小元素为a时候的子集数。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MOD = 1000000007;
LL biao[2020];

int main() {
    int t;
    scanf("%d", &t);
    biao[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 2000; i++) {
        biao[i] = biao[i-1] << 1;
        biao[i] %= MOD;
    }
    for(int cas = 1; cas <= t; cas++) {
        int n;
        scanf("%d", &n);
        LL ans = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            int beishu = 2 * n / i - 1; // 是i的倍数的个数
            int other = 2 * n - beishu - i; // 不是i的倍数并且大于i的个数
            ans = biao[other] * (biao[beishu] - 1) % MOD + ans; // beishu有选和不选两种,因此是2^beishu种,因为不能全部不选,所以-1,其他的有选不选两种,是2^other
            ans %= MOD;
        }
        printf("Case %d: %lld\n", cas, ans);
    }
    return 0;
}