【数据结构】二叉树
表示
typedef struct TNode *Position;
typedef Position BinTree; /* 二叉树类型 */
struct TNode{ /* 树结点定义 */
ElementType Data; /* 结点数据 */
BinTree Left; /* 指向左子树 */
BinTree Right; /* 指向右子树 */
};
性质
- 第i层至多有2^(i-1)个节点
- 深度为k=》至多有2^k-1个节点
- 终端节点数为n0，度为2的节点数为n2=》n0=n2+1
- 完全二叉树具有n个节点=》深度为[log2n]+1（向上取整）
- 完全二叉树按层序编号：
- i>1，则其双亲为[i/2]（向上取整）
- 2i>n，则i没有左孩子；否则其左孩子为2i
- 2i+1>n，则i没有右孩子；否则其右孩子为2i+1
遍历二叉树
概念
- 先序遍历： a、访问根节点；b、前序遍历左子树；c、前序遍历右子树。
- 中序遍历： a、中序遍历左子树；b、访问根节点；c、中序遍历右子树。
- 后序遍历： a、后序遍历左子树；b、后续遍历右子树；c、访问根节点。
举例
- 先序序列：-+a*b-cd/ef
- 中序遍历：a+b*(c-d)-e/f
- 后序遍历：abcde-*+ef/-
- 按层遍历：-+/a*efb-cd
- 形象的图示
实现
//中序遍历
void InorderTraversal( BinTree BT )
{
if( BT ) {
InorderTraversal( BT->Left );
/* 此处假设对BT结点的访问就是打印数据 */
printf("%d ", BT->Data); /* 假设数据为整型 */
InorderTraversal( BT->Right );
}
}
//先序遍历
void PreorderTraversal( BinTree BT )
{
if( BT ) {
printf("%d ", BT->Data );
PreorderTraversal( BT->Left );
PreorderTraversal( BT->Right );
}
}
//后序遍历
void PostorderTraversal( BinTree BT )
{
if( BT ) {
PostorderTraversal( BT->Left );
PostorderTraversal( BT->Right );
printf("%d ", BT->Data);
}
}
//按层遍历
void LevelorderTraversal ( BinTree BT )
{
Queue Q;
BinTree T;
if ( !BT ) return; /* 若是空树则直接返回 */
Q = CreatQueue(); /* 创建空队列Q */
AddQ( Q, BT );
while ( !IsEmpty(Q) ) {
T = DeleteQ( Q );
printf("%d ", T->Data); /* 访问取出队列的结点 */
if ( T->Left ) AddQ( Q, T->Left );
if ( T->Right ) AddQ( Q, T->Right );
}
}
还原二叉树
要已知两种遍历结果，还原一棵二叉树：前序/后序/按层+中序遍历。
也就是说，中序遍历是必要的。
本部分内容在我的另一篇博客有详细解释：https://www.cnblogs.com/fighterkaka22/p/14203479.html
波兰表达式
观察前面遍历二叉树的举例，可以发现，该三个序列分别为波兰式、正常表达式和逆波兰式。
线索二叉树
背景
当我们希望得到二叉树中某一个结点的前驱或者后继结点时，普通的二叉树是无法直接得到的，只能通过遍历一次二叉树得到。每当涉及到求解前驱或者后继就需要将二叉树遍历一次，非常不方便。因此考虑，是否能够改变原有的结构，将结点的前驱和后继的信息存储进来。
原理
记ptr指向二叉链表中的一个结点，以下是建立线索的规则：
（1）如果ptr->lchild为空，则存放指向中序遍历序列中该结点的前驱结点。这个结点称为ptr的中序前驱；
（2）如果ptr->rchild为空，则存放指向中序遍历序列中该结点的后继结点。这个结点称为ptr的中序后继；
显然，在决定lchild是指向左孩子还是前驱，rchild是指向右孩子还是后继，需要一个区分标志的。因此，我们在每个结点再增设两个标志域ltag和rtag，注意ltag和rtag只是区分0或1数字的布尔型变量，其占用内存空间要小于像lchild和rchild的指针变量。
二叉树线索化
中序遍历进行二叉树线索化代码：
void InThreading(BiThrTree B,BiThrTree *pre) {
if(!B) return;
InThreading(B->lchild,pre);
//--------------------中间为修改空指针代码---------------------
if(!B->lchild){ //没有左孩子
B->LTag = Thread; //修改标志域为前驱线索
B->lchild = *pre; //左孩子指向前驱结点
}
if(!(*pre)->rchild){ //没有右孩子
(*pre)->RTag = Thread; //修改标志域为后继线索
(*pre)->rchild = B; //前驱右孩子指向当前结点
}
*pre = B; //保持pre指向p的前驱
//---------------------------------------------------------
InThreading(B->rchild,pre);
}
遍历线索二叉树
//非递归遍历线索二叉树
Status InOrderTraverse(BiThrTree T) {
BiThrNode *p = T->lchild;
while(p!=T){
while(p->LTag==Link) p = p->lchild; //走向左子树的尽头
printf("%c",p->data );
while(p->RTag==Thread && p->rchild!=T) { //访问该结点的后续结点
p = p->rchild;
printf("%c",p->data );
}
p = p->rchild;
}
return OK;
}
最优二叉树（赫夫曼树）
概念
-
结点的带权路径长度：从结点到树根之间的路径长度与结点上权的乘积。
-
树的带权路径长度：所有叶子结点的带权路径长度之和。
-
最优二叉树（赫夫曼树）：WPL最小的二叉树。
性质
- 包含 n 个叶子结点的赫夫曼树中共有 2n – 1 个结点。
- 哈夫曼树的结点的度数为 0 或 2， 没有度为 1 的结点。
- 具有相同带权结点的哈夫曼树不惟一。
赫夫曼算法
- 根据给定的n个权值{w1,w2,…,wn}构成二叉树集合F={T1,T2,…,Tn},其中每棵二叉树Ti中只有一个带权为wi的根结点,其左右子树为空。
-
在F中选取两棵根结点权值最小的树作为左右子，构造一棵新的二叉树,且置新的二叉树的根结点的权值为左右子树根结点的权值之和。
-
在F中删除这两棵树,同时将新的二叉树加入F中。
-
重复2、3,直到F只含有一棵树为止.(得到哈夫曼树)
赫夫曼编码
前缀编码：任意一个字符的编码都不是另一个字符的编码的前缀。
举例：如果需传送的电文为 ‘ABACCDA‘：
编码： A：0， C：10，B：110，D：111
任意一个叶子结点都不可能在其它叶子结点的路径中。
非二叉树
实际上，所有的树都可以通过孩子兄弟表示法表示为二叉树。
