【数据结构】栈
基础知识
关于栈你需要知道的基础知识：
- LIFO（后进先出的线性表）
- 通常使用顺序表表示栈（方便定位）
- 常用操作：push（入栈），pop（出栈），empty（判断是否为空），top（取栈顶）
手写栈
许多情况下我们可以使用C++STL库的#include栈，但我们仍要学会手写栈。
- 初始化操作InitStack(SqStack &S)
//构造空栈S
S.base=(ElemType*)malloc(STACK_INIT_SIZE*sizeof(ElemType));
//为顺序栈动态分配存储空间
if(!S.base)exit(OVERFLOW);
S.top=S.base;
S.stacksize=STACK_INIT_SIZE;
return OK;
- 销毁栈操作DestroyStack(SqStak &S)
//若未分配栈空间
if(!S.base)return ERROR;
free(S.base);//回收栈空间
S.base=S.top=NULL;
S.stacksize=0;
return OK;
3.置空栈操作ClearStack(SqStack &S)
//若未分配栈空间
if(!S.base)return ERROR;
S.top=S.base;
return OK;
4.取栈顶元素GetTop(SqStack S,ElemType &e)
//栈空
if(S.top==S.base)return ERROR;
e=*(S.top-1);
return OK;
5.进栈操作Push(SqStack &S,ElemType e)
if ( S.top-S.base >= S.stacksize ) // 若栈满则追加存储空间
{
S.base = (ElemType * ) realloc( S.base,
( S.stacksize + STACK_INCREMENT ) * sizeof( ElemType ) );
if ( ! S. base )exit(OVERFLOW); //存储分配失败
S.top = S.base + S.stacksize;
S.stacksize += STACK_INCREMENT;
}
* S.top ++ = e;//元素e 插入栈顶，后修改栈顶指针
return OK;
6.出栈操作Pop(SqStack &S,ElemType &e)
if(S.top==S.base)return ERROR;//栈空
e=*--S.top;
return OK;
备注：
栈空：top==base
栈满：top-base==STACKSIZE
出栈序列
判断出栈序列
已知入栈序列，判断出栈序列是否正确。无论是手写判断，还是代码实现，原理均为：
- 依据给定的出栈序列，在每次将入栈序列中的元素压入栈之后尝试进行出栈（出栈直到栈顶!=即将出栈元素为止），若最终所有元素都能成功出栈（栈大小为0），则出栈序列合法。
- 代码实现中，设置一个指针，每次成功出栈后，指向下一个即将出栈的元素。
卡特兰数
一个栈进栈序列为1,2,3……n，问可能的出栈序列有多少个？
- 结论：C(2n,n)/(n+1)=(2n!)/(n!*n!)/(n+1)
- 推导：
#输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，其中：任何一个位置上之前出现的1的累计数不小于0的累计数的方案种数。
#所以有一半的方案不可行
输出序列总数目：C(2n,n)-C(2n,n+1)=C(2n,n)/(n+1)
应用
数制转换
题目：对于输入的任意一个非负十进制整数，打印输出与其等值的八进制数。
思路：计算过程是由低位到高位顺序产生八进制数的各个数位，而打印输出恰好与计算过程相反。
stack <int>S;
int N;
void conversion()
{
while(!S.empty())S.pop();
cin >> N;
while(N)
{
S.push(N%8);
N=N/8;
}
while(!S.empty())
{
cout << S.top();
S.pop();
}
}
括号匹配
题目：给定一串括号序列，判断其是否正确匹配。
思路：设置一个栈，每读入一个括号：
- 若是右括号：要么与栈顶对应的左括号抵消，要么不匹配。
- 若是左括号：入栈。
- 若栈在开始、结束时都为空，则合法匹配。
表达式求值
波兰表达式
*后续将专门开一个帖子补充。
算符优先算法
遇操作数——保存；
遇运算符号aj——与前面的刚扫描过的运算符ai比较：
- 若ai<aj 则保存aj。（因此已保存的运算符的优先关系为a1<a2<a3<a4…）
- 若ai>aj 则说明ai是已扫描的运算符中优先级最高者，可进行运算。
- 若ai=aj 则说明括号内的式子已计算完，需要消去括号。
栈与递归
汉诺塔问题
- 递归实现：
// 递归实现汉诺塔
// n 为汉诺塔圆盘编号，从小到大为 1，2，3，……
void hanoi(int n, char A, char B, char C) {
if(n == 1) {
printf("%c -> %c\n", A, C); // 如果只有一个盘子，从 A 直接移动到 C
}else {
hanoi(n-1, A, C, B); // A 上的盘子，以 C 为辅助，移动到 B
hanoi(1, A, B, C); // 移动 A 上的最大的盘子到 C 上
hanoi(n-1, B, A, C); // 将 B 上的盘子以 A 为辅助，移动到 C
}
}
- 非递归实现（栈）
// 保存函数状态
struct Status {
int n;
char start, mid, end; // 初始塔，辅助中间塔，最终要移动到的塔
Status(int _n, char _A, char _B, char _C): n(_n), start(_A), mid(_B), end(_C) {}
};
// 采用非递归实现汉诺塔问题
// 由于栈的特殊性质，FILO，所以我们需要将原来函数的调用方式反过来进行
void hanoiStack(int n, char A, char B, char C) {
stack<Status> myS;
myS.push(Status(n, A, B, C));
while (!myS.empty())
{
Status ns = myS.top();
myS.pop();
if(ns.n == 1) {
printf("%c -> %c\n", ns.start, ns.end);
}else {
myS.push(Status(ns.n-1, ns.mid, ns.start, ns.end));
myS.push(Status(1, ns.start, ns.mid, ns.end));
myS.push(Status(ns.n-1, ns.start, ns.end, ns.mid));
}
}
}
参考链接：
- 汉诺塔问题的非递归实现及其思考：https://www.cnblogs.com/veeupup/p/12613921.html
- 组合数学角度：https://zhuanlan.zhihu.com/p/36085324
- 处理首尾递归：https://www.cnblogs.com/blogzcan/p/7485372.html
迷宫问题
思路：从每一个位置出发，下一步都有四种选择（上右下左），先选择一个方向，如果该方向能够走下去，那么就往这个方向走，当前位置切换为下一个位置。如果不能走，那么换个方向走，如果所有方向都走不了，那么退出当前位置，到上一步的位置去，当前位置切换为上一步的位置。一致这样执行下去，如果当前位置是终点，那么结束。如果走过了所有的路径都没能到达终点，那么无解。
8皇后问题
问题：八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。 高斯认为有76种方案。1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。计算机发明后，有多种计算机语言可以解决此问题。
思路：
- 从棋盘的第一行开始，从第一个位置开始，依次判断当前位置是否能够放置皇后，判断的依据为：同该行之前的所有行中皇后的所在位置进行比较，如果在同一列，或者在同一条斜线上（斜线有两条，为正方形的两个对角线），都不符合要求，继续检验后序的位置。
- 如果该行所有位置都不符合要求，则回溯（跳出这一层递归，即出栈）到前一行，改变皇后的位置，继续试探。
- 如果试探到最后一行，所有皇后摆放完毕，则直接打印出 8*8 的棋盘。最后一定要记得将棋盘恢复原样，避免影响下一次摆放。
