[ZJOI2010] 基站选址

题目

题目最刁钻也是最核心的条件 : “如果在距离第 $i$ 个村庄不超过 $s_{i}$ 的范围内建立了一个通讯基站，那么就成它被覆盖了”

首先暴力:

状态 $f_{i}, j$ 表示在 $j$ 建了第 $i$ 个基站，目前的花费是多少
$f_{i}, j \leftarrow f_{i - 1, k} + c o s t (j, k) + c_{j}$
其中 $c o s t (j, k)$ 可以 $O (n^{3})$ 预处理

分析

时间复杂度瓶颈在于 $c o s t$ 的处理。

我们以上转移的过程花费统计是从给定端点出发，而考虑到条件里的覆盖与否只与 $i$ 本身有关,我们得到 $j < L_{i}, R_{i} < k$ 时会统计入 $w_{i}$ 的贡献。

我们化繁为简，这就变为了一个类似二维数点的东西。

重新回顾 $d p$ 的过程，令当前阶段为 $i$ :

当我们扫到 $j$ 这一处基站时，应当从 $[i - 1, j - 1]$ 这个区间的最优点转移过来，故数据结构上的每个位置 $s$ 维护的是：上层 $d p$ 值加上 $c o s t (s, j)$ ，即暴力中的 $f_{i - 1, k} + c o s t (j, k)$
接着，对于先前 $R_{k} = j$ 的一系列点 $k$ ，在此之后的转移中：
- 满足了 $R_{k} < j$ ，那么对于小于 $L_{k}$ 的位置，就要加入 $w_{k}$ 的花费了。

具体实现：

处理出每个点的 $L, R$ ，并跟据 $R$ 排序，本人用 vector 实现，邻接表亦可；
$d p$ 部分
- 将上一阶段的结果放入数据结构中
- 从左到右枚举设立基站的位置，先询问 $[i - 1, j - 1]$ 的最优结果。遍历 $R_{k} = j$ 的点，在 $[1, L_{k} - 1]$ 加上 $w_{k}$ 的价值
细节处理，由于要保证后面未统计部分记入答案，不妨 ++n,++k 最后直接统计 f_n 的结果

数据结构区间加，区间查询，继承结果，故使用线段树。时间复杂度 $O (n \cdot k \cdot l o g_{2}^{n})$

反思：

数据结构优化 $d p$ ，我们可以将上一阶段 $d p$ 放入数据结构中，进行转移。
对于式子，我们应当化繁为简，找出如二维偏序等重要特征

贴上代码：

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 2e4 + 10,inf = 0x3f3f3f3f;

inline int read(){
	register int x = 0,f = 1;
	register char c = getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){ if(c == '-')f = -f; c = getchar(); }
	while(c>='0'&&c<='9')x = (x<<3) + (x<<1) + (c^48),c = getchar();
	return x * f;
}

int d[N],c[N],s[N],w[N];
int l[N],r[N];
int n,k,ans;
int f[N];
vector<int> e[N];

struct Segment{
	int val[N<<2],tag[N<<2];
	#define ls (p<<1)
	#define rs (p<<1|1)
	void pushup(int p){ val[p] = min(val[ls],val[rs]); }
	void pushdown(int p){
		if(!tag[p])return ;
		val[ls] += tag[p], val[rs] += tag[p];
		tag[ls] += tag[p], tag[rs] += tag[p];
		tag[p] = 0;
	}
	void build(int p,int l,int r){
		tag[p] = 0,val[p] = 0;
		if(l == r)return val[p] = f[l],void();
		int mid = l + r >> 1;
		build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r);
		pushup(p);
	}
	void modify(int p,int l,int r,int L,int R,int v){
		if(L <= l && r <= R)return val[p] += v, tag[p] += v, void();
		pushdown(p);
		int mid = l + r >> 1;
		if(L <= mid)modify(ls,l,mid,L,R,v);
		if(mid < R)modify(rs,mid+1,r,L,R,v);
		pushup(p);
	}
	int query(int p,int l,int r,int L,int R){
		if(L <= l && r <= R)return val[p];
		pushdown(p);
		int mid = l + r >> 1, res = inf;
		if(L <= mid)res = query(ls,l,mid,L,R);
		if(mid < R)res = min(res,query(rs,mid+1,r,L,R));
		return res;
	}
}seg;



int main(){
	n = read(),k = read()+1;
	for(int i = 2;i<=n;++i)d[i] = read();
	for(int i = 1;i<=n;++i)c[i] = read();
	for(int i = 1;i<=n;++i)s[i] = read();
	for(int i = 1;i<=n;++i)w[i] = read(),ans += w[i];



	++n; d[n] = w[n] = inf;
	
	
	for(int i = 1;i<=n;++i)
		l[i] = lower_bound(d+1,d+n+1,d[i]-s[i])-d,
		r[i] = upper_bound(d+1,d+n+1,d[i]+s[i])-d-1,
		e[r[i]].push_back(i);
	
	int res = 0;
	for(int j = 1;j<=n;++j){
		f[j] = res + c[j];
		for(int x : e[j])res += w[x];
	}
	ans = f[n];
	for(int i = 2;i<=k;++i){
		seg.build(1,1,n);
		for(int j = 1;j<=n;++j){
			if(j > i-1)f[j] = seg.query(1,1,n,i-1,j-1) + c[j];
			else f[j] = c[j];
			for(int x : e[j])if(l[x] > 1)seg.modify(1,1,n,1,l[x]-1,w[x]);
		}
		ans = min(ans,f[n]);
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}