非常经典的一道题:
N皇后问题:
国际象棋中皇后的势力范围覆盖其所在的行、列以及两条对角线,现在考察如下问题:如何在n x n的棋盘上放置n个皇后,使得她们彼此互不攻击 。
免去麻烦我们这里假定n不是很大。。。
(图片来自百度百科(这是8皇后问题的一种解法))
某leetcode大犇曾说过:“这个问题和解数独题目有一个很大的共同点,那就是:我都不会。”
好了下面开始分析:(废话警告)
初步判断这问题的特点有:
1.有个场地来放置单位。
2.各个单位之间有制约。
3.没有特殊的数学方法,得把某一个摆法摆出来才能判断是否可行。
于是萌新一般都会这么想:对于1,:我搞个二维数组来存。对于2:我搞个判定函数来一个一个判定。对于3:我暴力枚举。
那么算法框架大概就是:我对二维数组的所有情况进行枚举,然后对每种情况进行判定
over ,输个数字n,按下回车,双手离开键盘,等了老半天发现命令提示符只有个光标在跳动 |
如果是在做网题,说不定就判定是超时或者内存溢出,过不了。
然后就开始思考怎么优化:
对于1,我可以缩减吗····,改成一维数组,,,似乎徒增麻烦。
对于2,我可以有更巧妙的判断方法吗?·············有个鬼,还不得把每个棋子的每一行每一列每两个斜线都瞅一下。
对于3,我一定要把所有情况都举出来嘛?···(于是脑子里面开始摆起了棋子,模拟算法过程)
然后就会发现 比如第一行前两个格子一开始就摆了两个相邻的棋子,诶这不明摆着皇后互怼了吗!后面还继续枚举就太傻了吧···
这种傻事情做了不是白白增加耗时吗!
所以就思考如何在这种“傻情况”出现的时候就pass掉后面所有情况。。。
于是脑子陷入了一团乱麻。。。
打住!
咱们换个思考方式,既然直接想有点困难,不如我们想办法先做点处理,让这些玩意儿便于我们把弄。
再回头想想规则,皇后可以吃掉所处的一行一列以及斜线上的棋子,那也就是说,每一行都最多只能有一个棋子,每一列都最多只能有一个棋子,
那我们不妨把每一行看成一组!
那么这一组就只有n个可能性(一行n个位置 每一次只有一个位置被占用)
也就是单个一行有n种可能性
因为有n行
哈哈那么就瞬间只需要讨论n*n种可能性了!
还记得我们之前的思考吗?:
对于3,我一定要把所有情况都举出来嘛?···(于是脑子里面开始摆起了棋子,模拟算法过程)
然后就会发现 比如第一行前两个格子一开始就摆了两个相邻的棋子,诶这不明摆着皇后互怼了吗!后面还继续枚举就太傻了吧···
这种傻事情做了不是白白增加耗时吗!
所以就思考如何在这种“傻情况”出现的时候就pass掉后面所有情况。。。
像这种情况:
(我的天这皇后画的...)
显然下面3,4,5····行都不用枚举了,直接pass掉
于是我们思路慢慢清晰了起来:
我们从第一行开始枚举,第一行第一格:
然后枚举第二行,也从第一格开始:
判定一下,哇,不行,咋办呢?这情况下面所有行都没有枚举的必要了,但是本行还是可以继续的。。。于是我们开始枚举第二行第二个情况:
不行(斜线上互吃)。
继续第二行下一个情况:
行嘞!
那么我们就可以开第三行了:
不行(一列上吃)。
不行(斜线上吃)
不行。
还不行
行嘞!
··················
好了,算法思路大概就出来了。
我们就这样干下去,直到最后一行可行,那么我们就获得了一个可行解了,
然后我们想继续获得其他解,那么继续枚举下去,但是要退一步:
先从倒数第一行开始,我们枚举下一个,有解则输出,无解则继续。
倒数第一行结束了,咋办?
别忘了倒数第二行的情况还不一定枚举完了呢。
于是退到倒数第二行,继续如上操作。
··················
干说着没用,撸代码:
#include<iostream> using namespace std; int main() { return 0; }
先准备好需要用的存储(这里用64个绰绰有余)
ans是用来存每一次的解 ans[1]表示第一行的那个元素的所在列的位置
1 #include<iostream> 2 3 using namespace std; 4 bool colMark[64] = { 0 };//元素所在列 如果有了元素在第k列 那么colMark[k]就标记上true 5 bool naMark[64] = { 0 };//捺,撇···顾名思义,表示元素所在的两个斜线o.o 原理同上 6 bool pieMark[64] = { 0 }; 7 int total = 0; //解的总个数 8 int N = 0; 9 int ans[64] = { 0 }; 10 int main() 11 { 12 return 0; 13 }
然后下面先写一个显示函数:
1 void showOneSolution()//用来显示一个解 2 { 3 total++; 4 for (int i = 1; i<=N; ++i) 5 { 6 cout << ans[i] << " "; 7 } 8 cout << endl; 9 }
下面是核心:
void Dfs(int i) //可以百度学习 深度优先搜索 { if (i > N) //判断是否已经枚举完了N行 { showOneSolution(); //枚举完了就输出(此刻我们处于N+1行) return; //返回到第N行 } for (int j = 1; j <= N; ++j) //这里的j表示 本行的第j列 { if ((!colMark[j])&&(!naMark[j-i+N])&&(!pieMark[i+j])) //这里的"j-i+N" "i+j"建议自己体会 { //判断这个格子所在的两个斜线和所在列是否为空 colMark[j] = true; naMark[j - i + N] = true; pieMark[i + j] = true; ans[i] = j; Dfs(i + 1); colMark[j] = false; //这个格子枚举完了要进入本行第j+1个格子(或者结束本行) 走之前别忘了恢复标记 naMark[j - i + N] = false; pieMark[i + j] = false; } } }
最后组装起来:(当然啦,还是建议自己撸代码,你会发现很多意想不到的问题~解决问题的同时也是进步)
1 #include<iostream> 2 3 4 using namespace std; 5 bool colMark[64] = { 0 }; 6 bool naMark[64] = { 0 }; 7 bool pieMark[64] = { 0 }; 8 int total = 0; 9 int N = 0; 10 int ans[64] = { 0 }; 11 void showOneSolution()//用来显示一个解 12 { 13 total++; 14 for (int i = 1; i<=N; ++i) 15 { 16 cout << ans[i] << " "; 17 } 18 cout << endl; 19 } 20 void Dfs(int i) 21 { 22 if (i > N) //判断是否已经枚举完了N行 23 { 24 showOneSolution(); //枚举完了就输出(此刻我们处于N+1行) 25 return; //返回到第N行 26 } 27 for (int j = 1; j <= N; ++j) //这里的j表示 本行的第j列 28 { 29 if ((!colMark[j]) && (!naMark[j - i + N]) && (!pieMark[i + j])) 30 { //判断这个格子所在的两个斜线和所在列是否为空 31 colMark[j] = true; 32 naMark[j - i + N] = true; 33 pieMark[i + j] = true; 34 ans[i] = j; 35 Dfs(i + 1); 36 colMark[j] = false; // 走之前别忘了恢复标记 37 naMark[j - i + N] = false; 38 pieMark[i + j] = false; 39 } 40 } 41 } 42 int main() 43 { 44 cin >> N; 45 Dfs(1); 46 cout << total; 47 system("pause"); 48 return 0; 49 }
总结:
思路混乱不妨换个角度理一理。
在纸上面画一画算法过程会有不少帮助。
代码少出错还是得多撸。
想什么呢?!撸代码!