CodeForces - 615D Multipliers（数论）

http://codeforces.com/problemset/problem/615/D

题意

给出m个质因子，组成一个数n。问n的约数的乘积是多少，输出mod 1e+7的结果。

分析

从输入我们能知道这个数的所有质因子以及它们的个数。最后答案一定是ans=π p[i]^k[i] (p[i]为质因子，k[i]为最终乘积中的个数)。

那么主要问题就是怎么求这个k[i]了。现在我们只关注一个质因子p，它的个数为num，那么其它质因子都有num[i]+1种可选择，根据乘法原理，当我们选定p时，其它质因子的选法总数为d=π (num[i]+1)。而此时p可以选1~num[i]，根据加法原理，此时方案数为k=num*(num+1)/2*d。

将这种思想分散到每一个质因子，最终答案就是ans=π p[i]^(num[i]*(num[i]+1)/2*d[i])。故事到这里好像就要结束了，但在实际编写是，由于k[i]过大会出错。所以还需要想想办法。

这时费马小定理出场啦：a^n=a^(n%(m-1)) mod m。因此我们对指数进行mod （m-1）的行动，但由于指数需要除以2而1e9+7-1不和2互质了，因此这里不能用逆元处理分数取模了。

又一个定理出现：(a/b)%m=(ab)%m/2。至此问题完美解决了。另外，指数部分：num[i]*(num[i]+1)/2*d[i]且d[i]=π (num[j]+1) (i != j)。所以可以偷偷懒，直接把所有的num[i]+1乘起来。详情看代码

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<set>
#define rep(i,e) for(int i=0;i<(e);i++)
#define rep1(i,e) for(int i=1;i<=(e);i++)
#define repx(i,x,e) for(int i=(x);i<=(e);i++)
#define X first
#define Y second
#define PB push_back
#define MP make_pair
#define mset(var,val) memset(var,val,sizeof(var))
#define scd(a) scanf("%d",&a)
#define scdd(a,b) scanf("%d%d",&a,&b)
#define scddd(a,b,c) scanf("%d%d%d",&a,&b,&c)
#define pd(a) printf("%d\n",a)
#define scl(a) scanf("%lld",&a)
#define scll(a,b) scanf("%lld%lld",&a,&b)
#define sclll(a,b,c) scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c)
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0)
using namespace std;
typedef long long ll;
template <class T>
void test(T a){cout<<a<<endl;}
template <class T,class T2>
void test(T a,T2 b){cout<<a<<" "<<b<<endl;}
template <class T,class T2,class T3>
void test(T a,T2 b,T3 c){cout<<a<<" "<<b<<" "<<c<<endl;}
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
const ll mod = 1e9+7;
int T;
void testcase(){
    printf("Case %d: ",++T);
}
const int MAXN = 2e5+10;
const int MAXM = 30;

ll a[MAXN],p[MAXN],num[MAXN];

ll qpow(ll a,ll b){
    ll res=1;
    while(b){
        if(b&1) res=(res*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("in.txt","r",stdin);
#endif // LOCAL
    int n,cnt=0;
    scd(n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scl(a[i]);
    sort(a+1,a+n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(i==1||a[i]!=a[i-1]){
            p[++cnt]=a[i];
            num[cnt]=1;
        }else{
            num[cnt]++;
        }
    }

    ll tmp=1,ans=1;
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        tmp=(tmp*(num[i]+1))%(2*mod-2);
    }

    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        ans=ans*qpow(p[i],num[i]*tmp/2%(2*mod-2))%mod;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}