快速幂(Fast power)

简介(Introduction)

快速幂是快速计算底数的 $n $ 次幂
对于 $a^b \quad mod \quad p $ ，当 $a $ 或者 $b $ 非常大时我们无法直接算出来结果

描述(Description)

• ，就需要进行拆分。
• 而快速幂算法可以高效地做到这一点，快速幂算法的核心思想是每一步都把指数分成两半，而相应的底数做平方运算。
• 这样不仅能把非常大的指数给不断变小，所需要执行的循环次数也变小，而最后表示的结果却一直不会变。

• 时间复杂度为： $O(logn) $

代码(Code)

// C++ Version
 * 3 ^ 11 = ?
 * 11 = 1011
 * 3 ^ 1 = 3     ------ 3 ^ 1 = 3
 * 3 ^ 2 = 9     ------ 3 ^ 2 = 9
 * 此位二进制为0 ------ 9 ^ 2 = 81
 * 3 ^ 8 = 6561 ------ 81 ^ 2 = 6561
 * 
 * 3 ^ 15 = 3 × 9 × 6561 = 177147
 */
 
 int power(int a, int b, int p) {
     int ans = 1 % p;
    for ( ; b; b >>= 1) {
        if (b & 1) ans = (ll) ans * a % p;
        a = (ll) a * a % p;
    }
    return ans;
 }

应用(Application)

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快速幂求逆元

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给定 $n $ 组 $a_i, p_i $ 其中 $p_i $ 是质数,求 $a_i $ 模 $p_i $ 的乘法逆元，若逆元不存在则输出 $impossible $。
注意：请返回在 $0 ∼ p − 1 $之间的逆元。

输入格式

第一行包含整数 $n $。
接下来 $n $ 行，每行包含一个数组 $a_i, p_i $ 数据保证 $p_i $ 是质数。

输出格式

输出共 $n $行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。
若 $a_i $模 $p_i $ 的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出 $impossible $。

数据范围

$1 ≤ n ≤ 10^5 $
$1 ≤ a_i, p_i≤ 2 × 10 $⁹

输入样例：

$3 $
$4 3 $
$8 5 $
$6 3 $

输出样例：

$1 $
$2 \( \)impossible $

乘法逆元的定义:

若整数 $b, m $互质，并且对于任意的整数 $a $，如果满足 $b\ |\ a $，则存在一个整数 $x $，使得 $a\ /\ b\ ≡\ a\ * x \ mod\ m $，

则称 $x $ 为 $b $ 的模 $m $ 乘法逆元，记为 $b^{−1}\ mod\ \ m $。

$b $ 存在乘法逆元的充要条件是 $b $ 与模数 $m $ 互质。当模数 $m $ 为质数时， $b^{m−2} $ 即为 $b $ 的乘法逆元

• 分析：

  • 需要寻找一个 $x $，使得 $a\ /\ b\ ≡\ a\ *\ x\ mod\ m $。

  • 而我们最后定义 $x = b^{−1} $ (这里只是表示逆元，而不是负一次方)

  • 证明

    $(a\ /\ b)\ %\ p\ =\ m\ ······\ (1) \( \)ax\ %\ p\ =\ m\ ······\ (2) $

    首先把 $(1) $ 式两边同时乘 $b $得到： $a\ %\ p\ =\ mb\ %\ p\ =\ (m\ (b\ %\ p)\ )\ %\ p $。

    如果 $a, b < p $，我们可以把上式化简为 $a = mb\ %\ p $。

    上式两边同乘 $x $ 并且联立 $(2) $ 式可以得到： $ax\ %\ p\ =\ m %\ p\ =\ xbm\ %\ p $，

    由此可得 $bx % p ≡ 1 $

  • 由于本题保证 $p $ 是质数和式子的特殊性可以使用费马定理

    费马定理：

    如果我们定义一个 $p $为素数，且定义 $b $， $b % p ≠ 0 $，则 $b $^p-1 $ ≡ 1(mod p) $

    即：如果 $b $和 $p $互质，则 $b $ 的 $p-1 $ 次方模 $p $ 等于 $1 $

• 题解：

  // C++ Version
  #include<iostream>
  
  using namespace std;
  typedef long long LL;
  
  int binpow(int a, int k, int p){
      int res = 1;
      while(k){
          if(k & 1) res = (LL) res * a % p;
          k >>= 1;
          a = (LL) a * a % p;
      }
      return res;
  }
  
  int main(){
      ios::sync_with_stdio(false);
      cout.tie(0); cin.tie(0);
      
      int n;
      cin >> n;
      while(n--){
          int a, b;
          cin >> a >> b;
          if(a % b == 0) cout << "impossible" << endl;
          else cout << binpow(a, b - 2, b) << endl;
      }
      
      return 0;
  }
  

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