分治策略(Divide and Conquer)

简介(Introduction)

分治策略（Divide and Conquer）是对于一个规模为 \(n\) 的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模 \(n\) 较小）则直接解决，否则将其分解为 \(k\) 个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。

描述(Description)

• 在分治策略中，我们递归的求解一个问题，在每层递归中应用如下三个步骤：
  1. 分解：将一个问题划分为若干个子问题，子问题的形式与原问题一样，不过规模更小。
  2. 解决：递归的求解出子问题。若子问题的规模非常小则停止递归，直接求解。
  3. 合并：将子问题的解合并成原问题的解
     
     
     

应用(Application)

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1. 二分搜索
2. 大整数乘法
3. \(Strassen\) 矩阵乘法
4. 棋盘覆盖
5. 归并排序
6. 快速排序
7. 线性时间选择
8. 最接近点对问题
9. 循环赛日程表
10. 汉诺塔
11. ...

为运算表达式设计优先级

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给你一个由数字和运算符组成的字符串 expression ，按不同优先级组合数字和运算符，计算并返回所有可能组合的结果。你可以 按任意顺序 返回答案。

生成的测试用例满足其对应输出值符合 32 位整数范围，不同结果的数量不超过 \(10^4\)

提示：

• \(1 \le expression.length \le 20\)
• expression 由数字和算符 '+'、'-' 和 '*' 组成。
• 输入表达式中的所有整数值在范围 \([0, 99]\)

示例 1：

输入：expression = "2-1-1"
输出：[0,2]
解释：
((2-1)-1) = 0 
(2-(1-1)) = 2

示例 2：

输入：expression = "2*3-4*5"
输出：[-34,-14,-10,-10,10]
解释：
(2*(3-(4*5))) = -34 
((2*3)-(4*5)) = -14 
((2*(3-4))*5) = -10 
(2*((3-4)*5)) = -10 
(((2*3)-4)*5) = 10

• 分析：

  • 对于一个算式来说，总是可以根据运算符分为两部分，接着分别计算结果并合，每一个结果都是一个数组，包含这个算式的所有可能结果，计算时将左右两部分排列组合，递归的终点是字符串是纯数字，直接返回

  • 分治步骤：

    1. 分解：按运算符分成左右两部分，分别求解
    2. 解决：实现一个递归函数，输入算式，返回算式解
    3. 合并：根据运算符合并左右两部分的解，得出最终解

• 题解：

  // C++ Version
  
  class Solution {
  public:
      vector<int> diffWaysToCompute(string expression) {
          vector<int> res; //存放结果
          int len = expression.size();
          for(int i = 0; i < len; i++){
              char c = expression[i];
              if(c == '+' || c == '-' ||c == '*'){
                  //找到运算符，向左进行分割
                  auto left = diffWaysToCompute(expression.substr(0, i));
                  //向右进行分割
                  auto right = diffWaysToCompute(expression.substr(i + 1, len - i - 1));
  
                  for(int l : left){
                      for(int r : right){
                          if(c == '+'){
                              res.push_back(l + r);
                          }else if(c == '-'){
                              res.push_back(l - r);
                          }else if(c == '*'){
                              res.push_back(l * r);
                          }
                      }
                  }
              }
          }
          //如果res中没有数字，说明expression本身为一个数字
          if(res.size() == 0){
              res.push_back(stoi(expression));
          }
          return res;
      }
  };
  

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