差分（Difference）

“前缀和”和“差分”是一对互逆运算，“差分”可以维护多次对序列的一个区间修改一个数。

一维差分(One-dimensional)

描述(Description)

C++ 标准库中实现了差分函数 std::adjacent_difference，定义于头文件 <numeric> 中

示例(Example)

原数列：\(\left[ 2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19 \right]\)

差分处理之后：\(\left[ 2,\ 1,\ 2,\ 2,\ 4,\ 2,\ 4,\ 2 \right]\)

差分后的数列用前缀和处理后可以得到：\(\left[ 2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19 \right]\)

即为原数列

代码(Code)

• 构建差分数组

  void calc(int a[], int b[], int n) {
  	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
  		b[i] = a[i] - a[i -1];
  }
  

  
  
• 原数组所有的元素都将加上 \(c\) :

  void insert(int b[], int c) {
  	b[1] += c;
  }
  

• 将区间 \([l,r]\) 内的所有元素加上 \(c\) :

  void insert(int b[], int l, int r, int c){  // l 在 r 的左边(或重合)
  	b[l] += c;
  	b[r + 1] -= c;  // r + 1 位置开始 +c 和 -c 相互抵消 
  }
  

二维差分(Two-dimensional)

示例(Example)

• 原数组 \(a\) 中被选中的子矩阵为 以 \((x_1,y_1)\) 为左上角，以 \((x_2,y_2)\) 为右下角所围成的矩形区域
• \(a\) 数组是 \(b\) 数组的前缀和数组\(b\)，对 数组的 \(b[i][j]\) 的修改，会影响到 \(a\) 数组中从 \(a[i][j]\) 后的每一个数。
  

\(b[x_1][y_1] =\ b[x_1][y_1] + c\)：蓝色矩形面积的元素都加上 \(c\)
\(b[x_1][y_2 + 1] = b[x_1][y_2 + 1] - c\)：绿色矩形面积的元素再减去 \(c\)，使其内元素不发生改变
\(b[x_2 + 1][y_1] = b[x_2 + 1][y_1] -c\)：紫色矩形面积的元素再减去 \(c\) ，使其内元素不发生改变
\(b[x_2 + 1][y_2 + 1] = b[x_2 + 1][y_2 + 1] +c\)：红色矩形面积的元素再加上 \(c\) ，红色部分被减了两次，加上一次 \(c\) ，保证数据准确性

• 最后得到递推公式为：

\[b[i][j] = b[i][j] + b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1]; \]

代码(Code)

• 构建差分数组

  for (int i = 1; i <= n; i ++ )
  	for (int j = 1; j <= m; j ++ )
  		insert(i, j, i, j, a[i][j]);
  

  
  
• 插入函数

  // 对 b 数组执行插入操作，等价于对a数组中的(x1, y1)到(x2, y2)之间的元素都加上了 c
  void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
  	b[x1][y1] += c;
  	b[x2 + 1][y1] -= c;
  	b[x1][y2 + 1] -= c;
  	b[x2 + 1][y2 + 1] += c;  // c被减了两遍，加c保证数据准确性
  }
  

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