二分查找（Binary Search）

简介(Introduction)

二分查找也称折半查找（ Binary Search），它是一种效率较高的查找方法。

折半查找要求线性表必须采用顺序存储结构，而且表中元素按关键字有序排列。

描述(Description)

• 二分查找的前提是目标已近排好序（或满足查找条件的序列）
• 二分查找每次对半查找保证其高效性

• 算法分析（以寻找上界为例）：
  1. \(a[mid]\ =\ v\)：已经找到了一个符合条件的值，但是它的左边可能还有合适的值，则向左二分：\(r = mid;\)
  2. \(a[mid]\ >\ v\)：要求的位置一定不在当前位置的后面，但是当前位置可能是答案(数组中没有目标值，并且当前位置是第一个大于目标值的位置)，则向左二分：\(r = mid;\)
  3. \(a[mid]\ <\ v\)：要求的位置一定不在当前位置以及当前位置的前面，则向右二分：\(l = mid + 1;\)

时间复杂度：\(O(\log n)\)

示例(Example)

1. 二分查找下界

• 在目标数组中找 \(2\)：

• 在目标数组中找 \(4\)：

• 可见当找不到目标值时，会找到一个合适的，可以插入目标值的位置的下标

2. 二分查找上界

   • 在目标数组中找 \(3\)：

   • 同理，如果找不到目标值，也会找到一个合适的、目标值可插入的位置。

Tips：

• 二分查找最终一定可以找到一个“答案”

• 函数返回上下界是受制于数组上下界的，如果目标值就在数组上界，那么也只会返回数组的上界，而不是目标值上界。

代码(Code)

• 区间分为 \([l,\ mid], [mid + 1,\ r]\)：

  //向左逼近：查找第一个大于等于给定值的元素
  int bsearch_1(int l, int r) {
  	while (l < r) {
  		int mid = l + r >> 1;
  		if (check(mid)) r = mid;
  		else l = mid + 1;
  	}
  	return l;
  }
  

  
  

• 区间分为 \([l,\ mid - 1], [mid,\ r]\):

  //向右逼近：查找最后一个小于等于给定值的元素
  int bsearch_2(int l, int r) {
  	while (l < r) {
  		int mid = l + r + 1 >> 1;  // 此时为了防止死循环，计算 mid 时需要加 1
  		if (check(mid)) l = mid;
  		else r = mid - 1;
  	}
  	return l;
  }
  

  
  

• 浮点数二分：

  double d_b_s(double l, double r) {
  	double mid;
  	while (r - l > 1e-(k + 2)) {  // k 是题目要求的精确度
  		mid = (l + r) / 2;
  		if(check()) l = mid;
  		else r = mid;
  	}
  	return l;
  }
  

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应用(Application)

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分巧克力

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题目描述

儿童节那天有 \(K\) 位小朋友到小明家做客。小明拿出了珍藏的巧克力招待小朋友们。

小明一共有 \(N\) 块巧克力，其中第 \(i\) 块是 \(H_i \times W_i\) 的方格组成的长方形。

为了公平起见，小明需要从这 \(N\) 块巧克力中切出 \(K\) 块巧克力分给小朋友们。切出的巧克力需要满足：

1. 形状是正方形，边长是整数。

2. 大小相同。

例如一块 \(6 \times 5\) 的巧克力可以切出 \(6\) 块 \(2 \times 2\) 的巧克力或者 \(2\) 块 \(3 \times 3\) 的巧克力。

当然小朋友们都希望得到的巧克力尽可能大，你能帮小 \(H_i\) 计算出最大的边长是多少么？

输入格式

第一行包含两个整数 \(N\) 和 \(K\)。\((1 \le N,K \le 10^5)\)。

以下 \(N\) 行每行包含两个整数 \(H_i\) 和 \(W_i\)。\((1 \le H_i,W_i \le 10^5)\)。

输入保证每位小朋友至少能获得一块 \(1 \times 1\) 的巧克力。

输出格式

输出切出的正方形巧克力最大可能的边长。

样例输入

2 10
6 5
5 6

样例输出

2

• 题解：

  // C++ Version
  
  #include <iostream>
  #include <algorithm>
  
  using namespace std;
  
  const int N = 1000010;
  
  typedef pair<int, int> pii;
  
  int n, m;
  pii a[N];
  
  bool check(int mid) {
  	int sum = 0;
  	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
  		auto t = a[i];
  		sum += t.first / mid * (t.second / mid);
  	}
  	return sum >= m;
  }
  
  int main() {
  	cin >> n >> m;
  	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
  		int x, y;
  		scanf("%d%d", &x, &y);
  		a[i] = {x, y};
  	}
  
  	int l = 0, r = 1e5;
  	while (l < r) {
  		int mid = (l + r + 1) >> 1;
  		if (check(mid)) l = mid;
  		else r = mid - 1;
  	}
  
  	cout << l << endl;
  	return 0;
  }
  

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补充(Supplement)

差值查找：

• 将原本的中间值查找条件：\(int\ \ mid = \frac {right + left}{ 2};\)
• 改为：\(int\ \ mid = low + \frac{key - a[low] }{ a[high] - a[low] } * ( high - low );\)
• 即：将上述的比例参数 \(1 / 2\) 改进为 自适应
• 根据关键字在整个有序表中所处的位置，让 \(mid\) 的变化 更靠近 关键字 \(key\)，这样也就间接地减少了比较次数

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