位运算（Bitwise-Operation）

简介(Introduction)

程序中的所有数在计算机内存中都是以二进制的形式储存的。位运算就是直接对整数在内存中的二进制位进行操作。

描述(Description)

• 位运算是计算机内的一种最基本的运算方式，快捷高效。运算的逻辑是先将两个操作数转化成二进制数，然后做位运算。
  
  

  位运算符	含义
  &	按位“与”
  |	按位“或”
  ^	按位“异或”
  ~	取反
  <<	左移
  >>	右移

  
  

  A	B	~A	A | B	A & B	A ^ B
  0	0	1	0	0	0
  0	1	1	1	0	1
  1	0	0	1	0	1
  1	1	0	1	1	0

  • 对于 \(<<\) 和 \(>>\) 运算，在数据可以表达的范围内，\(a << k\) 相当于 \(a * 2^k\)，而 \(a >> k\) 相当于 \(\large\frac{a}{2^k}\)
  • 如果是一个 偶数 ^ 1 那么答案是 偶数 + 1，如果是一个 奇数 ^ 1，那么答案是 奇数 - 1

Tips：

1. 位运算的操作对象只能是整型或者字符型数据
2. 操作数的位移运算不改变原数的值

代码(Code)

• 求 \(n\) 的第 \(k\) 位二进制数字

  int findk(int n, int k) {
  	return n >> k & 1;
  }
  

  
  
• 得到二进制中最后一个 \(1\)

  int lowbit(int x) {  // 例如：101000 则返回 1000
  	return x & -x;
  }
  

---

示例(Example)

• \(lowbit\) 函数：

  • 二进制数：

  • 一个整数的负数是源码的补码 —— 即二进制数 取反加一，\(-x\) 二进制表示为：

  • 那么 \(x\ \& -x\) 表示为：

应用(Application)

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二进制中 \(1\) 的个数

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给定一个长度为 \(n\) 的数列，请你求出数列中每个数的二进制表示中 \(1\) 的个数。

输入格式

第一行包含整数 \(n\)。
第二行包含 \(n\) 个整数，表示整个数列。

输出格式

共一行，包含n个整数，其中的第 \(i\) 个数表示数列中的第 \(i\) 个数的二进制表示中 \(1\) 的个数。

数据范围

\(1 ≤ n ≤ 100000\)
\(0 ≤ 数列中元素的值 ≤ 10^9\)

输入样例：

5
1 2 3 4 5

输出样例：

1 1 2 1 2

• 题解：

  // C++ Version
  
  #include <iostream>
  
  using namespace std;
  
  int n;
  
  int lowbit(int x) {
      return x & -x;
  }
  
  int main() {
      scanf("%d", &n);
      for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
          int t;
          cin >> t;
          int res = 0;
          while (t) t -= lowbit(t), res ++ ;
          cout << res << ' ';
      }
  
      return 0;
  }
  

---