红黑树（Red Black Tree）

简介(Introduction)

红黑树 （ Red Black Tree）是一种自平衡二叉查找树，是在计算机科学中用到的一种数据结构，典型的用途是实现关联数组。

一棵红黑树是满足下面 红黑性质 的 二叉搜索树：
1. 结点是红色或黑色。
2. 根结点是黑色。
3. 每个叶节点 $(NIL)$ 都是黑色。（一般不在图中画出）
4. 每个红色结点的两个子结点都是黑色。（从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色结点）
5. 从任一节结点其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色结点。
性质：从根到叶子的最长的可能路径不多于最短的可能路径的两倍长。 即：设最短路径为 $r$，说明最短路径均由黑色节点组成，即：黑色节点的个数为 $r$，在根节点到叶节点之间两两黑色节点中间插入一个红色节点，则最长路径长度为 $2r - 1$

旋转：
当对红黑树进行插入和删除等操作时，对树做了修改，那么可能会违背红黑树的性质。
为了保持红黑树的性质，则可以通过对树进行旋转【左旋 $(zag)$ 和右旋 $ (zig)$ 】，即修改树中某些结点的颜色及指针结构，以达到对红黑树进行插入、删除结点等操作时，红黑树依然能保持它特有的性质

插入：
1. 若被插入的节点是根节点。
  - 直接把此节点涂为黑色。
2. 若被插入的节点的父节点是黑色。
  - 什么也不需要做。
3. 若被插入的节点的父节点是红色。
  - Case1：当前节点的祖父节点的另一个子节点（叔叔节点）也是红色。
    1. 将“父节点”设为黑色。
    2. 将“叔叔节点”设为黑色。
    3. 将“祖父节点”设为“红色”。
    4. 将“祖父节点”设为“当前节点”(红色节点)；即，之后继续对“当前节点”进行操作。
  - Case2：叔叔节点是黑色，且当前节点是其父节点的右孩子
    1. 将“父节点”作为“新的当前节点”。
    2. 以“新的当前节点”为支点进行左旋。
  - Case3：叔叔节点是黑色，且当前节点是其父节点的左孩子
    1. 将“父节点”设为“黑色”。
    2. 将“祖父节点”设为“红色”。
    3. 以“祖父节点”为支点进行右旋。

Tips：红黑树的删除操作较为复杂，408 考的概率极低，删除示例考完后后续再进行补充～

删除：
1. 若 $x$ 指向一个"红+黑"节点。
  - 将 $x$ 设为一个"黑"节点即可。
2. 若 $x$ 指向根。
  - 将 $x$ 设为一个"黑"节点即可。
3. 若 $x$ 指向一个"黑+黑"节点。
  - Case1： $x$ 的兄弟节点是红色。
    1. 将 $x$ 的兄弟节点设为“黑色”。
    2. 将 $x$ 的父节点设为“红色”。
    3. 对 $x$ 的父节点进行左旋。
    4. 左旋后，重新设置 $x$ 的兄弟节点。
  - Case2： $x$ 的兄弟节点是黑色， $x$ 的兄弟节点的两个孩子都是黑色。
    1. 将 $x$ 的兄弟节点设为“红色”。
    2. 设置“ $x$ 的父节点”为“新的 $x$ 节点”。
  - Case3： $x$ 的兄弟节点是黑色； $x$ 的兄弟节点的左孩子是红色，右孩子是黑色的。
    1. 将 $x$ 兄弟节点的左孩子设为“黑色”。
    2. 将 $x$ 兄弟节点设为“红色”。
    3. 对 $x$ 的兄弟节点进行右旋。
    4. 右旋后，重新设置 $x$ 的兄弟节点。
  - Case4： $x$ 的兄弟节点是黑色； $x$ 的兄弟节点的右孩子是红色的， $x$ 的兄弟节点的左孩子任意颜色。
    1. 将 $x$ 父节点颜色赋值给 $x$ 的兄弟节点。
    2. 将 $x$ 父节点设为“黑色”。
    3. 将 $x$ 兄弟节点的右子节设为“黑色”。
    4. 对 $x$ 的父节点进行左旋。

时间复杂度：$O(\log n)$

posted @ 2023-05-15 11:30 FFex 阅读(9) 评论(0) 编辑收藏举报

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