B树和B+树

简介(Introduction)

在计算机科学中，\(B\) 树（B-tree） 是一种自平衡的树，能够保持数据有序。这种数据结构能够让查找数据、顺序访问、插入数据及删除的动作，都在对数时间内完成。\(B\) 树，概括来说是一个一般化的二叉查找树，可以拥有多于 \(2\) 个子节点。与自平衡二叉查找树不同，\(B\) 树为系统大块数据的读写操作做了优化。\(B\) 树减少定位记录时所经历的中间过程，从而加快存取速度。\(B\) 树这种数据结构可以用来描述外部存储。这种数据结构常被应用在 数据库 和 文件系统 的实现上。

描述(Description)

• \(B\) 树性质：
  1. \(m\) 阶 \(B\) 树，每个节点 最多 有 \(m\) 个孩子。
  2. 每个节点最多有 \(m-1\) 个关键字（可以存有的键值对）。
  3. 根节点最少可以只有 \(1\) 个关键字。
  4. 非根节点至少有 \(\large {\lceil m / 2\rceil} -1\) 个关键字。
  5. 每个节点中的关键字都按照 从小到大 的顺序排列，每个关键字的左子树中的所有关键字都小于它，而右子树中的所有关键字都大于它。
  6. 所有叶节点都位于同一层，或者说根节点到每个叶节点的长度都相同。
  7. 每个节点都存有索引和数据，也就是对应的 \(key\) 和 \(value\)。
  8. 所以，根节点的关键字数量范围：\(1 \le k \le m-1\)，非根节点的关键字数量范围：\(\large {\lceil m / 2\rceil} - 1 \le k \le m-1\)。

• \(B\) 树插入：
  • 如果 \(B\) 树中已存在需要插入的键值对，则用需要插入的值替换旧的值，若 \(B\) 树不存在这个 \(key\)，则一定是在叶结点中进行插入操作。
  1. 根据要插入的 \(key\) 的值，找到叶结点并插入。
  2. 判断当前结点 \(key\) 的个数是否 $ \le m-1$，若满足则结束，否则进行第 \(3\) 步。
  3. 以结点中间的 \(key\) 为中心分裂成左右两部分，然后将这个中间的 \(key\) 插入到父结点中，\(key\) 的左子树指向分裂后的左半部分，\(key\) 的右子支指向分裂后的右半部分，然后将当前结点指向父结点，继续进行第 \(3\) 步。
• \(B\) 树删除：
  • 如果不存对应 \(key\)，则删除失败。
  1. 如果当前需要删除的 \(key\) 位于非叶结点上，则用后继 \(key\) 覆盖待删除的 \(key\) ，然后在后继 \(key\) 所在的子支中删除该后继 \(key\) 。此时后继 \(key\) 一定位于叶结点上，删除这个记录后执行第 \(2\) 步
  2. 该结点 \(key\) 个数 \(\ge \lceil {\large \frac m 2} \rceil - 1\)，结束删除操作，否则执行第 \(3\) 步。
  3. 如果兄弟结点 \(key\) 个数 \(> \lceil {\large \frac m 2} \rceil - 1\)，则父结点中的 \(key\) 下移到该结点，兄弟结点中的一个 \(key\) 上移，删除操作结束 —— 从隔壁借
     否则，将父结点中的 \(key\) 下移与当前结点及它的兄弟结点中的 \(key\) 合并，形成一个新的结点。原父结点中的 \(key\) 的两个元素就变成了一个元素，指向这个新结点。然后当前结点的指针指向父结点，重复上第 \(2\) 步。

Tips：有些结点它可能即有左兄弟，又有右兄弟，那么任意选择一个兄弟结点进行操作即可。

• \(B+\) 树性质：
  1. \(B+\) 树中，每个关键字对应一颗子树，即：具有 \(n\) 个关键字的节点含有 \(n\) 棵子树，\(B\) 树中 \(n\) 个关键字的节点含有 \(n + 1\) 棵子树
  2. \(B+\) 树中，每个节点（非根）的关键字个数 \(n\) 的范围是：\(\lceil m / 2 \rceil \le n \le m\)(根节点：\(1\le n\le m\))；\(B\) 树中，每个节点（非根）的关键字个数 \(n\) 的范围是：\(\lceil m / 2 \rceil - 1 \le n \le m - 1\)(根节点：\(1\le n\le m - 1\))
  3. \(B+\) 树跟 \(B\) 树不同 \(B+\) 树的非叶节点不保存关键字记录的指针，只进行数据索引，这样使得 \(B+\) 树每个非叶节点所能保存的关键字大大增加
  4. \(B+\) 树叶节点保存了父节点的所有关键字记录的指针，所有数据地址必须要到叶节点才能获取到，所以每次数据查询的次数都一样
  5. \(B+\) 树叶节点的关键字从小到大有序排列，左边结尾数据都会保存右边节点开始数据的指针

• \(B+\) 树插入：

  1. 若为空树，创建一个叶结点，然后将记录插入其中，此时这个叶结点也是根结点，插入操作结束。
  2. 对于叶结点：根据 \(key\) 值找到叶结点，向这个叶结点插入记录。插入后，若当前结点 \(key\) 的个数 \(\le m-1\)，则插入结束。否则将这个叶结点分裂成左右两个叶结点，左叶结点包含前 \(\large \frac m 2\) 个记录，右结点包含剩下的记录，将第 \({\large \frac m 2} + 1\) 个记录的 \(key\) 进位到父结点中（父结点一定是索引类型结点），进位到父结点的 \(key\) 左孩子指针向左结点,右孩子指针向右结点。将当前结点的指针指向父结点，然后执行第 \(3\) 步。
  3. 对于非叶结点：若当前结点 \(key\) 的个数 \(\le m-1\)，则插入结束。否则，将这个索引类型结点分裂成两个索引结点，左索引结点包含前 \(\large \frac {m-1} 2\) 个 \(key\)，右结点包含 \(m- \large \frac m 2\)个 \(key\)，将第 \(\large \frac m 2\) 个 \(key\) 进位到父结点中，进位到父结点的 \(key\) 左孩子指向左结点, 进位到父结点的 \(key\) 右孩子指向右结点。将当前结点的指针指向父结点，然后重复第 \(3\) 步。

• \(B+\) 树删除：

  • 如果叶结点中没有相应的 \(key\)，则删除失败。否则执行下面的步骤
  1. 删除叶子结点中对应的 \(key\) 。删除后若结点的 \(key\) 的个数 $\ge \lceil {\large \frac {m - 1} 2} \rceil -1 $，删除操作结束,否则执行第 \(2\) 步。
  2. 若兄弟结点 \(key\) 有富余 \((> \lceil {\large \frac {m - 1} 2} \rceil -1)\)，向兄弟结点借一个记录，同时用借到的 \(key\) 替换父结（指当前结点和兄弟结点共同的父结点）点中的 \(key\) ，删除结束。否则执行第 \(3\) 步。
  3. 若兄弟结点中没有富余的 \(key\) ,则当前结点和兄弟结点合并成一个新的叶子结点，并删除父结点中的 \(key\) （父结点中的这个 \(key\) 两边的孩子指针就变成了一个指针，正好指向这个新的叶子结点），将当前结点指向父结点（必为索引结点），执行第 \(4\) 步（第 \(4\) 步以后的操作和B树就完全一样了，主要是为了更新索引结点）。
  4. 若索引结点的 \(key\) 的个数 $\ge \lceil {\large \frac {m - 1} 2} \rceil -1 $，则删除操作结束。否则执行第 \(5\) 步
  5. 若兄弟结点有富余，父结点 \(key\) 下移，兄弟结点 \(key\) 上移，删除结束。否则执行第 \(6\) 步
  6. 当前结点和兄弟结点及父结点下移 \(key\) 合并成一个新的结点。将当前结点指向父结点，重复第 \(4\) 步。

Tip： 通过 \(B+\) 树的删除操作后，索引结点中存在的 \(key\)，不一定在叶子结点中存在对应的记录。

示例(Example)

• 插入：
  

• 删除：https://www.cnblogs.com/nullzx/p/8729425.html