查找

简介(Introduction)

在计算机科学中定义为：在一些（有序的/无序的）数据元素中，通过一定的方法找出与给定关键字相同的数据元素的过程叫做查找。也就是根据给定的某个值，在查找表中确定一个关键字等于给定值的记录或数据元素。

描述(Description)

• \(ASL\)（Average Search Length），即平均查找长度，定义为：
         平均查找长度 \(ASL\) = 每个元素的查找概率 \(*\) 找到第 \(i\) 个元素需要进行的比较次数的和。

即，
$$ASL = \sum_{i = 1}^np_ic_i$$
       其中 \(n\) 为查找表中元素的个数，一般情况下，每个元素被找到的概率相同， 即 \(p_i = \frac 1 n\)，\(c_i\) 是查找到第 \(i\) 个元素比较的次数。

• 一个查找算法中，\(ASL\) 的值越大，说明该性能越差，反之，性能越好
• 每个判断都对应一个 决策树

• 顺序查找 (Sequence Search)
  • 从头扫到尾，找到待查找元素即查找成功，若到尾部没有找到，说明查找失败。
    
    
  • 一般线性表：
    • 查找成功：$$ASL_{成功} = \sum_{i = 1} ^m p_ic_i = \frac {1}{n} \sum_{i = 1} ^n i = \frac 1 n * \frac {n(n - 1)}{2} = \frac {n + 1} 2 $$
    • 查找失败：$$ASL_{失败} = n$$
  • 有序线性表：
    • 查找成功：$$ASL_{成功} = \sum_{i = 1} ^m p_ic_i = \frac {1}{n} \sum_{i = 1} ^n i = \frac 1 n * \frac {n(n - 1)}{2} = \frac {n + 1} 2 $$
    • 查找失败：$$ASL_{失败} = \frac{\sum_{i = 1}^n i + n}{n + 1} = \frac{n}{2} + \frac{n}{n + 1}$$

• 折半查找 (Binary Search)
  • 条件：待查找表是 有序 表
  • 在折半查找中，用 二叉树 描述查找过程，查找区间中间位置作为根，左子表为左子树，右子表为右子树
  • 若查找元素为 \(k\)，先与树根结点进行比较，若 \(k\) 小于根，则转向左子树继续比较，若 \(k\) 大于根，则转向右子树，递归上述过程，直到查找成功或查找失败。
    
    
  \[ASL_{成功} = ASL_{失败} = \sum_{i = 1} ^ n l_i = \frac{1}{n} (1 * 1 + 2 * 2 + \dots + h * 2^{h - 1}) = \frac{n + 1}{n} \log_2{(n + 1)} - 1 \approx log_2 (n + 1) - 1 \]

• 分块查找 (Block Search)
  • 分块查找又称 索引顺序查询，即：块间使用 折半查找，块内使用 顺序查找
  • 一般默认：块内无序，块间有序
  • 设共有 \(n\) 个元素，每块有 \(s\) 个元素，则共有 \(b = n / s\) 块。
    设查找到对应块的 \(ASL\) 为：\(L_l\)，块中查找对应元素的 \(ASL\) 为：\(L_s\)，则平均查找长度为 $$ASL = L_l+L_s=\frac{b + 1} 2 + \frac{s + 1}{2} = \frac{s^2 + 2s + n}{2s}$$
    当 \(s = \sqrt n\) 时，\(ASL\) 取得最小值 \(ASL_{min} = \sqrt n + 1\)

示例(Example)

• 顺序查找
  

• 折半查找
  

• 分块查找
  

代码(Code)

• 折半查找：

  int binary_search(int arr[], int n, int key) {
  	int l = 0, r = n - 1;
  	while (l <= r) {
  		int mid = l + r >> 1;
  		if (arr[mid] == key) return mid;
  		else if (arr[mid] > key) r = mid - 1;
  		else l = mid + 1;
  	}
  	return -1;
  }
  

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