Prim Algorithm

简介(Introduction)

普里姆算法（\(Prim\) 算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索 最小生成树。即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点，且其所有边的权值之和亦为最小。

描述(Description)

• \(Prim\) 算法和 \(Dijkstra\) 算法类似，核心思想为 贪心。
• \(Prim\) 算法总是维护最小生成树的一部分。最初，\(Prim\) 算法仅确定 \(1\) 号节点属于最小生成树。
• \(Dijkstra\) 算法和 \(Prim\) 算法区别：
  • \(Dijkstra\) 算法遍历寻找的是到源点的最短距离
  • \(Prim\) 算法遍历寻找的是到集合的距离(集合外的点连向集合内的点的距离的最小值，如果集合外没有点能连接到集合内，那么距离就是正无穷)，并且把这个点加入到集合中。

• \(Prim\) 算法流程：
  • 在任一时刻，假设已经确定属于最小生成树的节点集合为 \(T\)，剩余节点集合为 \(S\)。
  • 找到 \(\large min_{\small {x\in S,y\in T}} \begin{Bmatrix} z \end{Bmatrix}\)，即两个端点分别属于集合 \(S,T\) 的权值最小的边，
  • 然后将 \(x\) 从集合 \(S\) 中删除，加入到集合 \(T\)，并把 \(z\) 累加到答案中
  • 类比 \(Dijkstra\) 算法，用一个数组标记节点是否属于 \(T\)。每次从未标记的节点中选出 \(dist\) 值最小的，把它标记（新加入 \(T\)），同时扫描所有出边，更新另一个端点的 \(d\) 值。最后，最小生成树的权值总和就是 \(\sum_{x = 2}^{n}d[x]\)

维护 \(d\) 数组：

• 若 \(x\in S\)，则 \(d[x]\) 表示节点 \(x\) 与集合 \(T\) 中的节点之间权值最小的边的权值
• 若 \(x \in T\)，则 \(d[x]\) 等于 \(x\) 被加入 \(T\) 时选出最小边的权值

时间复杂度：\(O(n^2)\)

示例(Example)

• 运行结果：
  

代码(Code)

// C++ Version

const int N = 1010;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

int n, m, res;  // res 为最小生成树大小
int g[N][N];
int d[N], la[N];
bool vis[N];

int prim() {
	memset(dist, 0x3f, sizeof dist); // 初始化正无穷
	d[1] = 0;
	for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
		int t = 0;
		for (int j = 1; j <= n; j ++ )  {  // 遍历所有点
			if (!vis[j] && (!t || d[t] > d[j]))  // 找到距离集合最近的一个点
				t = j;
		}

		if (d[t] == inf) return inf;  // 最近的点到集合的距离都是正无穷，图不连通。
		vis[t] = 1;  // 加入集合，标记已经使用
		res += d[t];  // 找到最小的点，加上对应的路径

		if (i) {
			cout << "加入 <" << la[t] << ","<< t << "> 权值为：" << d[t] << endl;
			cout << "当前的 d 数组为；";
			for (int i = 1; i < n; i ++ ) cout << d[i] << ' ';
			cout << endl;
		}

		for (int j = 1; j <= n; j ++ )
			if (!vis[j] && d[j] > g[t][j]) {  // 注意这里和 Dijkstra 的区别
				d[j] = g[t][j];    // 用 t 这个点更新到其他的点的距离。
				la[j] = t;  // 记录上一次的路径
			}
	}
	return res;
}
// 注意: 最小生成树中不应存在自环，因此 res 更新应该在 t 遍历更新距离之前。这样就不会把自环更新进来。

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应用(Application)

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最小生成树

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给出一个无向图，求出最小生成树，如果该图不连通，则输出 orz。
输入格式

第一行包含两个整数 \(N,M\)，表示该图共有 \(N\) 个结点和 \(M\) 条无向边。

接下来 \(M\) 行每行包含三个整数 \(X_i,Y_i,Z_i\)，表示有一条长度为 \(Z_i\) 的无向边连接结点 \(X_i,Y_i\)。

输出格式

如果该图连通，则输出一个整数表示最小生成树的各边的长度之和。如果该图不连通则输出 orz。

数据范围

对于 \(20\%\) 的数据，\(N\le 5\)，\(M\le 20\)。

对于 \(40\%\) 的数据，\(N\le 50\)，\(M\le 2500\)。

对于 \(70\%\) 的数据，\(N\le 500\)，\(M\le 10^4\)。

对于 \(100\%\) 的数据：\(1\le N\le 5000\)，\(1\le M\le 2\times 10^5\)，\(1\le Z_i \le 10^4\)。

输入样例：

4 5
1 2 2
1 3 2
1 4 3
2 3 4
3 4 3

输出样例：

7

• 题解：

  #include <cstdio>
  #include <iostream>
  #include <cstring>
  #include <ctime>
  #include <cmath>
  #include <map>
  #include <set>
  #include <unordered_set>
  #include <unordered_map>
  #include <sstream>
  #include <algorithm>
  #include <bitset>
  #include <vector>
  #include <deque>
  
  #define pb push_back
  #define opb pop_back
  #define yes puts("YES")
  #define no puts("NO")
  #define all(a) a.begin(), a.end()
  #define show(x) cout << x << endl
  
  #define rep2(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i ++ )
  #define rep1(i, a, b) for (int i = a; i < b; i ++ )
  #define per2(i, a, b) for (int i = a; i >= b; i -- )
  #define per1(i, a, b) for (int i = a; i > b; i -- )
  #define fio ios::sync_with_stdio(false), cout.tie(0), cin.tie(0)
  
  #define ff first
  #define ss second
  
  using namespace std;
  
  typedef unsigned long long ull;
  typedef pair<int, int> pii;
  typedef pair<string, int> psi;
  typedef pair<double, double> pdd;
  typedef long long ll;
  
  const int N = 100010, M = 5010;
  const int mod = 1000000007;
  const int inf = 0x3f3f3f3f;
  
  int n, m;
  int g[M][M];
  int dist[N];
  bool st[N];
  
  void prim() {
  	memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
  	dist[1] = 0;  // 初始化起点
  	for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
  		int t = -1;
  		for (int j = 1; j <= n; j ++ ) 
  			if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
  				t = j;
  
  		st[t] = true;
  		for (int j = 1; j <= n; j ++ )
  			if (!st[j]) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
  	}
  }
  
  int main() {
  	fio;
  	cin >> n >> m;
  	memset(g, 0x3f, sizeof g);
  	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) g[i][i] = 0;
  	while (m -- ) {
  		int a, b, c;
  		cin >> a >> b >> c;
  		g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
  	}
  
  	prim();
  
  	int res = 0;
  
  	for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
  		if (dist[i] == inf) {
  			cout << "orz";
  			return 0;
  		}
  		res += dist[i];
  	}
  
  	cout << res << endl;
  	return 0;
  }
  

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