平衡树（Balance Tree）

简介(Introduction)

平衡树 (Balance Tree，BT) 指的是，任意节点的子树的高度差都 \(\le1\)。
常见的符合平衡树的有，B树（多路平衡搜索树）、AVL树（二叉平衡搜索树）等。

描述(Description)

• 平衡树是在维持 \(BST\) 性质的基础上，通过改变二叉查找树的形态，使得树上每个节点的左右子树达到 平衡，从而使树的 深度 维持在 \(O(\log n)\) 级别

• 从下往上（叶节点向根节点）看，当树的高度差 \(>1\) （不平衡）时，此时需要对该根节点进行 “旋转” 操作

• 基本操作：（详情请见示例）

  • 右旋 \((zig)\): \(zig(p)\) 可以理解为把 \(p\) 的左子节点围绕着 \(p\) 向右旋转
  • 左旋 \((zag)\): \(zag(p)\) 可以理解为把 \(p\) 的右子节点围绕着 \(p\) 向左旋转

• 四种旋转情况：
  1. 左左 \((LL)\)：进行一次 右旋
  2. 右右 \((RR)\)：进行一次 左旋
  3. 左右 \((LR)\)：先进行一次 左旋，进行一次 右旋
  4. 右左 \((RL)\)：先进行一次 右旋，进行一次 左旋

• 操作：
  1. 遍历二叉搜索树
  2. 查找最小/最大值
  3. 插入一个元素
  4. 删除一个元素
  5. 求元素的排名
  6. 查找排名为 \(k\) 的元素

示例(Example)

• 平衡树
  

• 插入
  

• 左旋 \(\&\) 右旋
  

• 四种旋转情况
  

---