高等数学_重点梳理

 

0. 预备知识

 

第1章：函数、极限、连续

1.1 数列极限

1.1.1 定义

1.1.2 性质（唯一性、有界性、保号性）

1.1.3 运算规则

1.1.4 夹逼准则求数列极限

1.1.5 单调有界准则求数列极限

1.1.6 定义法求数列极限

1.2 函数极限

1.2.1 定义

1.2.2 性质（唯一性、局部有界性、局部保号性）

 

1.2.3 运算规则

1.2.4 夹逼准则

1.2.5 等价无穷小/比阶

1.2.6 洛必达法则

 

1.2.7 泰勒公式

 

1.2.8 归结原则

 

1.3 连续与间断

1.3.1 连续的定义

1.3.2 间断的定义（间断点：可去、跳跃、无穷、振荡）

 

 

第2章：一元函数微分学

2.1 导数与微分的定义

2.2 导数与微分的计算

2.2.1 四则运算&基本求导公式

2.2.2 分段函数求导

2.2.3 复合函数求导&微分形式不变性

 

2.2.4 反函数求导

 

2.2.5 参数方程求导

2.2.6 隐函数求导

2.2.7 对数求导

2.2.8 幂指函数求导

2.2.9 变现积分求导

2.2.10 高阶导数

 

2.3 一元函数微分学应用

2.3.1 极值与最值

2.3.2 凹凸性与拐点

2.3.3 渐近线

2.3.4 物理应用

2.3.5 相关变化率

2.3.6 曲率&曲率半径

2.3.7 零点问题

2.3.8 微分不等式

 

第3章：中值定理

3.1 函数中值定理

3.2 微分中值定理

3.3 积分中值定理

 

第4章：一元函数积分学

4.1 概念

4.1.1 不定积分

4.1.2 定积分

4.1.3 变限积分

4.1.4 反常积分

4.2 积分计算

4.2.1 基本积分公式

4.2.2 凑微分法

4.2.3 换元法

4.2.4 分部积分法

4.2.5 有理函数积分

4.3 一元函数积分学应用

 

 

第5章：多元函数微分学

5.1 基本概念

 

5.2 多元函数微分法则

5.3 多元函数极值与最值

5.3.1 无条件极值

 

5.3.2 条件极值与拉格朗日乘数法 

 

第6章：二重积分

6.1 概念、性质与对称性

6.2 二重积分的计算

 

 

第7章：微分方程

7.1 微分方程的求解

 

7.2 解的结构

7.3 微分方程的物理应用