决策树(一)：原理&熵&条件熵&信息增益

1.决策树思想：以信息增益作为指标，得出最高效的一种决策方案，可用于回归或者分类问题。【由if-else演化而来，后续可发展成机器学习中的随机森林算法】
2.决策树指标：

香农：消除随机不确定性的东西。
信息熵：定量表示（某种事物）随机不确定性的大小。
样本：假设一个人身上有四种属性，分别是年龄【青年，中年，老年】，是否有工作【有工作，没有工作】，是否有房【有房，没房】，信用等级【非常好，好，一般好】；

现在样本中有15个人，他们四种属性的值不完全相同，相应的，其中的一人去银行贷款，银行是否会贷款给他的结果也不同。在这里，银行是否贷款给他作为这个问题的目标值。
在这个问题中，在我们不知道这个人的各个属性值时，银行是否同意借贷给他这一件事，对我们来说是完全随机不确定的，这时候信息熵是最大的。而根据样本我们可以得出总的信息熵【样本中15个人中6不同意，9同意】
信息熵公式：H(D)=- sump(xi)*log(p(xi)): 【对数底随便取，一般取2】
该问题中总的信息熵为 H(D)=  -(6/15*log(6/15) +9/15*log(9/15));
现在已经知道总的信息熵，下一步做什么呢？
对于这个问题，我们想要知道的是最终银行会不会同意借贷给某个人（目标值），（假设）因为银行是根据这个人的四个属性来决定是否同意，但我们不知道银行根据什么样的规则来选择，银行的选择方法在我们看来就是一个“黑箱”，那么我们如何找到哪个最高效的决策路径呢？所谓的最高效指的是知道尽量少个数的特征得出目标值。观察样本后我们发现通过先后决策“是否有房”和“是否有工作”这两个特征就足以得到样本中对应的目标值。如果先后决策“年龄”“信用等级”“是否有工作”，需要观察三个特征才能得出目标值。我们讨论这个问题的目的是要最高效地找出目标值，也就是通过知道某个人的某几个特征，从而推断他的借贷同意情况。这里的最高效指的是用最少的特征推断出目标值。而在决策树中，不同特征的决策顺序会影响能够推出目标值的最少特征数，所以问题就转变为找出最高效的决策顺序（选择特征顺序），所以通过观察样本数据我们得出结论：

不同的特征在决策中占据的”比重“是不一样的，有的对目标值影响大，有的影响小，那么问题就变成需要将特征对目标值的影响如何定量地表示出来。

 

这里引进信息增益和条件熵的概念。
1）条件熵：H（D|年龄）；H（D|信用等级），….
条件熵计算公式：
①H（D|年龄）=5/15*H（D|青年）+5/15*H（D|中年）+5/15*H（D|老年）【样本中有青/中/老年分别有5个】
②计算各个分量【比如说青年中同意贷款有2个；中年中同意贷款有3个，老年中同意贷款有4个】
H（青年）= -(2/5*log(2/5)+3/5*log(3/5))；
H（中年）= -(2/5*log(2/5)+3/5*log(3/5))；
H（老年）= -(4/5*log(4/5)+1/5*log(1/5))；
2）信息增益计算公式：g(D，年龄)=H（D）-H（D|年龄）
信息增益表示的是，知道了这个特征（信息），能够减少的目标值的不确定性。所以某一特征对应的信息增量越大，表示该特征对目标值的影响程度越大，在决策树中应该排在越前面。
通过比较不同特征的信息增量，可以得出决策树中不同特征的排列顺序，从而得出对于预测新样本的目标值最高效的决策树模型。

 

参考资料：
https://www.bilibili.com/video/BV1nt411r7tj?p=28， B站，作者：菜鸟程序员