「LibreOJ NOI Round #2」不等关系

「LibreOJ NOI Round #2」不等关系

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Loj

题解

首先考虑,我们可以通过把\(<\)合并成一段,然后这个\(>\)不是很好考虑,所以往容斥方面想.

容斥系数为\(\pm 1\),所以考虑设\(f_i\)表示前\(i\)段合法的情况,有:

\[f_i=-\sum_{j=0}^{i-1}f_j\binom{n-s_j}{s_i-s_j} \]

这个东西可以分治\(NTT\),就是把\(\binom{n-s_j}{s_i-s_j}\)拆开,然后对应的改成位置即可.

具体实现可以通过把对应的位置如果不是\('>'\)改成\(0\)即可.

代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<iostream>
using namespace std;
#define ll long long
#define REP(a,b,c) for(int a=b;a<=c;a++)
#define re register
#define file(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout)
typedef pair<int,int> pii;
#define mp make_pair
inline int gi()
{
	int f=1,sum=0;char ch=getchar();
	while(ch>'9' || ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0' && ch<='9'){sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
	return f*sum;
}
const int N=400010,Mod=998244353,G=3;
char s[N];
int n,f[N],g[N],A[N],B[N],rev[N],fl[N],ifac[N],fac[N],inv[N],ans;
int qpow(int a,int b){int ret=1;while(b){if(b&1)ret=1ll*ret*a%Mod;b>>=1;a=1ll*a*a%Mod;}return ret;}
void ntt(int *a,int limit,int opt)
{
	for(int i=0;i<limit;i++)
		if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int i=1;i<limit;i<<=1)
	{
		int Rt=qpow(G,(Mod-1)/(i<<1));
		for(int R=i<<1,j=0;j<limit;j+=R)
		{
			int W=1;
			for(int k=0;k<i;k++,W=1ll*W*Rt%Mod)
			{
				int X=a[j+k],Y=1ll*W*a[i+j+k]%Mod;
				a[j+k]=(X+Y)%Mod;
				a[i+j+k]=(X-Y+Mod)%Mod;
			}
		}
	}
	if(opt==-1)
	{
		reverse(a+1,a+limit);int Inv=qpow(limit,Mod-2);
		for(int i=0;i<limit;i++)a[i]=1ll*a[i]*Inv%Mod;
	}
}
void cdq(int l,int r)
{
	if(l==r)
	{
		if(!l)f[l]=1;
		else if(!fl[l])f[l]=0;
		else f[l]=1ll*f[l]*(Mod-ifac[n-l])%Mod;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	cdq(l,mid);
	for(int i=l;i<=mid;i++)A[i-l]=1ll*f[i]*fac[n-i]%Mod;
	for(int i=1;i<=r-l+1;i++)B[i]=ifac[i];
	int L=0,limit=1;
	while(limit<=(r-l+1+mid-l+1))limit<<=1,L++;
	for(int i=0;i<limit;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
	ntt(A,limit,1);ntt(B,limit,1);
	for(int i=0;i<limit;i++)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%Mod;
	ntt(A,limit,-1);
	for(int i=mid+1;i<=r;i++)f[i]=(f[i]+A[i-l])%Mod;
	for(int i=0;i<limit;i++)A[i]=B[i]=0;
	cdq(mid+1,r);
}
int main()
{
	scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1)+1;
	fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%Mod;
		inv[i]=1ll*(Mod-Mod/i)*inv[Mod%i]%Mod;
		ifac[i]=1ll*ifac[i-1]*inv[i]%Mod;
	}
	int cnt=0;
	for(int i=1;i<n;i++)
		if(s[i]=='>')fl[i]=1,cnt++;
	cdq(0,n);
	for(int i=0;i<=n;i++)ans=(ans+f[i])%Mod;
	if(cnt&1)ans=Mod-ans;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}