多项式&生成函数
多项式和生成函数
Warning: 它很基础,请\(\text{dalao}\)勿喷.
多项式
鸽掉了多项式开根(加强版).
多项式乘法
背个板子就好了.
泰勒展开与麦克劳林级数
若\(f(x)\)在\(x=x0\)处存在\(n\)阶导,那么:
\(\xi\)是余项,当\(n\)无穷大时\(\xi\)为高阶无穷小.
特殊情况是\(x0=0\)是的泰勒展开,称之为麦克劳林级数.
\(f(x)=\sum_{i=0}^n\frac{f^i(0)}{i!}x^i\)
比较常见的是\(e^x\)的展开:\(e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...\)
牛顿迭代
一个很有用的东西.
我们知道任何一种多项式运算都可以变成一种运算\(F(x)\)和一个多项式\(B(x)\),满足
例如 如果要求逆,那么\(F(B(x))=A(x)*B(x)-1 \equiv 0\)
现在考虑当\(n=1\)的时候很好求是吧.
考虑用\(n\)扩展到\(2n\)的情况:令\(B_{n}(x)\)表示满足\(n\)的解.
将\(F(B_{2n}(x))\)在\(B_n(x)\)处泰勒展开,有:
此时我们发现后面的项都是没有用的,因为:
然后不难发现,\(B_{2n}(x)\)的后\(n\)项和\(B_n(x)\)没有区别,那么当变成\((B_{2n}-B_n(x))^2\)的时候就会把它全部覆盖,所以此时一定满足\(F(B_{2n}(x))\)的性质,也就是\(\text{mod }x^n\equiv 0\).
这个时候我们把式子化成了:
注意求导是对\(B_n(x)\)求导.然后就可以递归求解了.
多项式求逆
\(F(B_n(x))=A(x)*B_n(x)-1 \equiv 0\).
那么此时可以得到:
多项式开根
\(F(B_n(x))=B_n^2(x)-A(x)\equiv 0\)
此时可以得到:
需要用到多项式求逆.
多项式求导
\((x^n)'=n*x_{n-1}\),导数具有线性性,直接算即可.
多项式积分
\(\int x^n=\frac{1}{n+1}x^{n+1}\),同样满足线性性.
多项式ln
直接复合函数求导之后求导+乘法\(\to\)积分即可.
多项式exp
看到这里应该没有人不知道\(exp(x)\)是\(e^x\)吧.
\(F(B_n(x))=\ln B_n(x)-A(x)\equiv 0\)
要套用多项式\(\ln\)和多项式乘法.
多项式快速幂
直接取\(\ln\)然后每一个系数乘再做一个\(\exp\)即可.
多项式除法
给定一个长度为\(n\)的多项式\(A(x)\),一个长度为\(m\)的多项式\(B(x)\),求一个长度为\(n-m\)的多项式\(C(x)\)和一个长度小于\(n-m\)的多项式\(R(x)\).
首先我们定义一个运算\(Reverse\)为\(A^R(x)=x^nA(\frac{1}{x})\),其实就等于翻转\(A\)多项式的系数.
那么这个时候有:
然后把这个式子在\(\mod x^{n-m+1}\),就是:
直接套用多项式求逆即可.
\(R(x)=A(x)-B(x)*C(x)\),直接计算即可.
其他
补坑.
分治FFT
纯粹的分治\(FFT\),不是\(cdq\)那套理论,求\(\prod_{i=1}^n(1+a_ix)\).
考虑分治然后合并即可.
套路
求\(\sum_{i=1}^na_i^t\)
首先考虑上面的分治\(FFT\)求出来的东西,令它为\(F(x)\),有:
第二步和第三步的转换是无穷等比数列求和公式倒推.
只要把对应项取负数然后就变成了\(a_i^{j+1}\)了.因为求的是\(j+1\)项,所以只需要注意\(\sum_{i=1}^na_i^0=n\).
看完上面的你就可以去做多项式板子了
但是那个开根要用二次剩余,他不保证\(a[0]=1\).
生成函数
普通型生成函数(\(\text{OGF}\))
考虑一个数列\(A=<a_0,a_1,a_2,...>\),他的\(\text{OGF}\)是\(a_0+a_1x+a_2x^2+...\)
例如斐波那契数列的\(\text{OGF}\)就是\(0+1x+1x^2+2x^3+...\)
指数型生成函数(\(\text{EGF}\))
对于数列\(a\),他的\(\text{EGF}\)是\(\sum_{i=0}^{\infty}\frac{a_i}{i!}x^i\)
\(e^x\)的就是数列\(<1,1,1,1,...>\)的\(EGF\).
题目
关于字符串的问题
回文串
首先是关于回文串,考虑回文串中一对对称的字符:\(S[x+a]=S[x-a]\),那么他们的下标和确定对吧.
\(x+a+x-a=2x\),所以\(FFT\)之后直接查下标\([1,2n]\)范围内的即可.
一般匹配
KMPtxdy
匹配倒也是一个比较神奇的东西,考虑我们要找到某些位置\(k\)令\(T\)串能覆盖\(k\)及后面\(|T|\)个位置.
考虑一个卷积,有:
如果对于一个位置\(x\),有\(F(x)=0\),那么就会有匹配是吧.
看到这个绝对值感觉很不好搞,平方拆掉.
唯一的问题在于后面的\(x+i-1\)和\(i\)的和不恒定,考虑将\(T\)串翻转,有:
此时有\(x+i-1+|T|-i+1=x+|T|\).这是一个只和\(x\)有关的东西,好.
这个时候发现只有卷积是要算的,第一个可以前缀和,第二个是常数.
这个时候卷就行了.
带通配符的匹配
考虑上文我们已经求出来了一般的匹配,这个时候添加了一个通配符,可以匹配任意一个字符,那么有:
这就变成了两个卷积+一个常数的形式.
同样的,将\(S\)对应乘进去.
三个卷积直接做即可,美哉.
加速计算
这里主要是以列举一些题目为主.
[AH2017/HNOI2017]礼物
考虑题目要求的是\(\sum_{i=1}^n(a_i-b_i+x)^2\ x \in [-m,m]\).
这个式子拆开之后枚举\(x\),发现只有\(\sum_{i=1}^na_ib_i\)要求最大值.
直接\(reverse\)后\(FFT\)即可.
[ZJOI2014]力
还是一样的:
考虑令\(f_i=q_j,g_i=\frac{1}{i^2}\),就可以写成:
看到后面的不是从\(1\)开始很不爽,翻转一下然后答案就是两个卷积的差.
上面两道题目都是用多项式快速计算乘积.
[HEOI2016/TJOI2016]求和
很简单,就是考第二类斯特林数怎么快速求.
这就可以\(NTT\)了.
上面这题使用多项式快速求出第一类/第二类斯特林数.
关于怎么求,可以看我博客关于斯特林数的总结.
[SDOI2015]序列统计
首先考虑最暴力的转移,设\(f_{i,j}\)表示前\(i\)个数,乘积为\(j\)的方案数:
如果要写成卷积的形式,显然要把乘法变成加法,考虑取\(ln\),有:
\(f_{2*i,c}=\sum_{a+b \mod c}f_{i,a}f_{j,b}\)
然后直接快速幂卷积即可,注意取\(ln\)要算原根.
具体一点可以看这篇文章
生成函数
这是一个令人自闭的环节,我这种菜鸡根本想不到怎么做题.当然如果像yyb一样强就不用了.
图的计数
首先就是注意一点,有标号和无标号分别对应着\(EGF\)和\(OGF\),因为\(EGF\)下面多除了一个\(i!\),对应就要乘回去一个\(i!\),然后就是排列,\(OGF\)就是组合.
考虑令\(i\)个点的答案为\(f_i\),则\(f_i\)表示\(i\)个点的无向连通图个数.
考虑设\(g_i\)表示\(i\)个点的连通图个数,则\(g_i=2^{\binom{i}{2}}\).
然后枚举\(1\)号点的连通块大小,有:
表示这个是无向连通图,剩下的随便选.
然后将组合数拆开,发现是一个卷积的形式,每一项是一个\(EGF\).
直接求逆,卷完之后乘\(fac[n-1]\)即可.
背包问题
首先发现题目要求的是完全背包的方案数,考虑一个物品的贡献:
现在答案变成了:\(\prod_{i=1}^m\frac{1}{1-x^{V_i}}\)
发现这个\(\prod\)不是很好求,考虑变成\(ln\)之后就可以求和了.
现在答案变成了:\(\prod_{i=1}^m\frac{1}{1-x^{V_i}}\)
发现这个\(\prod\)不是很好求,考虑变成\(ln\)之后就可以求和了.
以下推导省略\(dx\),把\(\ln \frac{1}{1-x^V}=-\ln{(1-x^V)}\):
考虑可以求每一个\(V\)的贡献,然后开个桶记一下就行了.
