算法导论之导论-图算法

1.图的表示G＝（V，E），无向图可以认为是有向图的特例

2.图的常用数据结构表示：

     a) 邻接表，一般稀疏图都会使用这种表达方式

     b) 邻接矩阵

3.图的搜索：

     a) BFS（breadth-first search），使用循环（直到所有节点都被处理）＋队列（待处理的节点入队）的方式实现，

         如果边没有weight，BFS即可得到某节点到其他所有节点的最短距离，BFS搜索得到的树叫BFS树。

     b) DFS（depth-first search），使用递归的方式实现。对于有向图，通过DFS可以产生一个DFS森林，并可得到

         有向无环图的拓扑排序。可以利用DFS把一个有向图分解为强联通子图（strongly connected component）。

4.无向有权图的最小生成树：

   其经典应用是电子元器件的最短连接树。其算法设计可以使用loop invariant通用算法设计模型，主要有两种具体实现：

     a) kruskal算法，按边从小到大排列，测试每条边的顶点是否同属已生成森林中的某棵树，非则include该边

     b) prim算法，单棵树增长的方式，同上，也是使用贪心算法，每次选择已生成树的最短外延边进行生长

5.最短路径：

   最短路径通常包含最优子结构，这种性质是动态规划和贪心算法适用的基础。此外，设计时要区分图的稀疏性，若图不

   是稀疏的，E的数量级会远大于V的数量级，算法选择上要有所考虑，比如dijkstra算法中最小优先队列可选择二叉最小

   堆也可选择fibonacci堆。全联通图的E约等于V的平方。

    a) single source shortest path：bellman-ford算法能解决包含负权网络的最短路径计算；而dijkstra算法是非负权网络最

        高效的算法。前者是动态规划提出者bellman的发明，其基本思想是按顶点进行循环，循环内部遍历所有的边，进行

        松弛计算（该算法要求图不能存在权为负的回路，否则不能收敛），bellman-ford是一个不断逼近精确的算法；后者

        使用了贪心策略，用到了最小优先队列，反复选择剩余节点中最短路径的节点加入到集合中并对relax其余节点。对

        无回路的图（DAG），可以先进行拓扑排序，然后根据排序后节点进行顺序处理，是算法达到O(V+E)。

    b) single-pair shortest path：使用DFS变体即可

    c) all-pairs shortest path：理论上可以通过反复的dijkstra算法或bellman-ford算法解决。其它更好的算法都是基于动态

        规划思想，包括矩阵乘法和floyd-warshall算法。不过更有实际意义的可能是稀疏图上的johnson算法，该算法使用

        dijkstra算法或bellman-ford算法作为子程序，运用了重赋权技术。

6.最大流问题，暂略（后续补）

7.并行图算法：使用pregel等图计算引擎，可以分布式地进行图计算，通常这种算法会引入一些冗余计算，但算法简单且

   通过分布式保证了计算时效性，而且在图规模很大时，成为必须的选择。