POJ 2486 Apple Tree [树状DP]

题目：一棵树，每个结点上都有一些苹果，且相邻两个结点间的距离为1。一个人从根节点（编号为1）开始走，一共可以走k步，问最多可以吃多少苹果。

思路：这里给出数组的定义：

dp[0][x][j] 为从结点x开始走，一共走j步，且j步之后又回到x点时最多能吃到的苹果数。

dp[1][x][j] 为从结点x开始走，一共走j步最多能吃到的苹果数（不必再回到x点）。之所以要定义上面的一种状态是因为在求第二种状态时需要用到。

下面介绍递推公式。

对于结点x，假设它目前要访问的孩子为y，则1...(y-1)已经遍历过。此时有：

dp[0][x][j+2] = max(dp[0][x][j], dp[0][x][m] + dp[0][y][j-m])  

注：dp[0][x][m]在每次dp后都会进行更新，此时的dp[0][x][m]实际上只是遍历过孩子结点1...(y-1)的情况。等号左边j之所以要加2是因为右面的总距离没有考虑从点x到y以及从y再回到x的距离，在这里要加上。

dp[1][x][j+1] = max(dp[1][x][j+1], dp[0][x][m] + dp[1][y][j-m])

注：遍历y结点，且不再回来。j加1表示只需要走一次从x到y的边。

dp[1][x][j+2] = max(dp[1][x][j+2], dp[1][x][m] + dp[0][y][j-m])

注：遍历y结点且又回到结点x，则必然是从1...(y-1)中的某个结点有去无回。

另外在dp的过程中，对于结点x的每个孩子都需要枚举走过的步数。而这个步数的枚举从小到大还是从大到小结果是不一样的。这就要看到前面递推公式里的定义，要求dp[0/1][x][m]存储的是遍历y前面的孩子结点的dp值。因此步数要从大到小枚举，这样每次值更新后都不会影响到下次dp。不然会wa。当然，也可以在每次dp前将dp[0/1][x][m]这两个值存储起来，这样就不用考虑这个问题了。

 

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define maxn 105
#define maxk 205
using namespace std;
int n, k;
int w[maxn];
bool vis[maxn];
struct node
{
    int v, next;
}edge[maxn<<1];
int num_edge, head[maxn];
void init_edge()
{
    num_edge = 0;
    memset(head, -1, sizeof(head));
}
void addedge(int a,int b)
{
    edge[num_edge].v = b;
    edge[num_edge].next = head[a];
    head[a] = num_edge++;
}
int dp[2][maxn][maxk];
void getdp(int x)
{
    vis[x] = 1;
    for (int i = 0; i <= k; i++)
        dp[0][x][i] = dp[1][x][i] = w[x];
    for (int i = head[x]; i != -1; i = edge[i].next)
    {
        int v = edge[i].v;
        if (vis[v]) continue;
        getdp(v);
        for (int j = k; j >= 0; j--)
            for (int m = 0; m <= j; m++)
            {
                dp[0][x][j+2] = max(dp[0][x][j+2], dp[0][x][m] + dp[0][v][j-m]);
                dp[1][x][j+1] = max(dp[1][x][j+1], dp[0][x][m] + dp[1][v][j-m]);
                dp[1][x][j+2] = max(dp[1][x][j+2], dp[1][x][m] + dp[0][v][j-m]);
            }
    }
}
int main()
{
    while (~scanf("%d%d",&n,&k))
    {
        init_edge();
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%d",&w[i]);
        for (int i = 1; i < n; i++)
        {
            int a, b;
            scanf("%d%d",&a,&b);
            addedge(a, b);
            addedge(b, a);
        }
        getdp(1);
        printf("%d\n", dp[1][1][k]);
    }
    return 0;
}